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BREVE RESUMEN DE LA HISTORIA DE LA LÓGICA

Elaborado a partir del anexo de Manuel Garrido en su obra de 1974, reeditada en 2005, Lógica simbolica.

Índice
I. IMAGEN TRADICIONAL DE LA LÓGICA
1- Grecia
    a). Aristóteles
    b). Lógica megárico-estoica
2- La imagen medieval de la lógica
    a). El sentido de la lógica medieval
    b). Principales contribuciones lógica medieval.
3- La imagen moderna de la lógica.
    a). El humanismo del Renacimiento
    b). Bacon y Port-Royal.
    c). Desde Kant a Mill.

II. LA IMÁGEN MATEMÁTICA DE LA LÓGICA
4- El sueño de Leibniz
    a). La idea de una «mathesis universalis»
    b). Los secretos del cálculo.
5- La revolución de Boole y Frege.
    a). El álgebra de Boole.
    b). La lógica de Peirce.
    c). La lógica de Frege.
    d). La teoría clásica de conjuntos.
6- De Russell a Hilbert.
    a). La lógica de Russell y Wittgenstein.
    b). La teoría axiomática de conjuntos.
    c). El intuicionismo de Brower.
    d). El formalismo de Hilbert.
    e). Platonismo y constructivismo.
7- La nueva crisis de fundamentos. El teorema de Gödel.
    a). Las revolucionarias aportaciones de los años treinta.
    b). El teorema de Gödel.
    c). A través del espejo.
    d). La fórmula de Gödel.
    e). La demostración del teorema y su corolario.
    f). Implicaciones filosóficas del teorema de Gödel.
8- La lógica de la segunda mitad del siglo XX.


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I- IMAGEN TRADICIONAL DE LA LÓGICA
1- Grecia  
Cultura griega > vida pública y filosofía > hay que saber argumentar, acumular y confeccionar pruebas (abogados y científicos)
ΖENÓN DE ELEA, SÓCRATES Y PLATÓN, (paradojas, razonamiento, dialéctica) SOFISTAS, (retórica).

a) ARISTÓTELES, primero en estudiar (tematizar) la lógica.
Lógica = teoría de la inferencia.

Órganon, (6 obras):
[concepto] - Categorías
[proposición] - Peri hermeneias (= De interpretatione)
[inferencia] - Primeros analíticos
                   - Segundos analíticos
                   - Tópicos
                   - Sobre las refutaciones sofisticas

Principales criterios de división de la lógica (hasta Kant):
- La analítica (argumentación rigurosa) se contrapone a la dialéctica, (opinión).
- La formal (sintaxis) y material (semántica): división implícita en el Organon, que describió como formal, ALEJANDRO DE AFRODISIAS, (escuela Peripatetica, s. II), en tanto que Aristoteles emplea letras y formula para mostrar las conclusiones de su discurso, desentendiendose de la materia.

Axiomática de la silogística aristotélica.
Jan LUKASIEWICZ: dice que sí exixte, por las relaciones deductivas deducción entre silogismos perfectos, (1a figura), y los imperfectos, (2a y 3a figuras) en Primeros Analíticos.
JOHN CORCORAN: que no, porque para Aristoteles la lógica es un instrumento, no una ciencia.

En Segundos Analíticos tratado de teoría de la ciencia, sí se ocupa del contenido científico de los razonamientos, más allá de sus forma, y del método axiomático. Método adecuado para la matemática, donde de las primeras premisas indomesticables parten y se apoyan sus pruebas científicas.

Las de la lógica no son axiomas, son reglas formales que "gobiernan desde fuera" la investigación de las diversas ciencias. La ciencia alcanza sus conclusiones con la ayuda de la lógica.
Así la lógica para Aristóteles es un "sistema metalinguistico de reglas de deducción natural", que no constituyen, sino solo regulan, las pruebas científicas.
E. W. BETH: Aristóteles fue el primero en utilizar el método semántico de modelos al descartar por contraejemplo las formas invalidas de argumento.

Teoría de la proposición (Peri hermeneias) y del razonamiento modal (Primeros analíticos).
Lógica modal [aportación aristotélica]: resulta del análisis de proposiciones a las que se antepone cualquiera de las 4 "partículas modales", (posible, necesario, imposible y contingente), partículas o prefijos que modifican la estructura lógica de las proposiciones y de los argumentos en los que intervienen.

Limitaciones de la lógica aristotélica:
No conoce la lógica proposicional.
Se basa en la predicación monádica.
No explica la predicación relativa.

b) Lógica megárico-estoica
Conocida por textos fragmentarios.
Primer desarrollo de la lógica proposicional y de la teoría de los conectores.

Escuela estoica: CRISIPO, (s.III a. C.).
Dominan el lenguaje de los conectores.
5 reglas de inferencia (o indemostrables) para su sistema deductivo:
I- Si lo 1º, entonces lo 2º; pero lo 1º, por tanto, lo 2º.
II- Si lo 1º, entonces lo 2º; pero no lo 2º, por tanto, no lo 1º.
III- No a la vez, lo 1º y lo 2º; pero lo 1º; por tanto, no lo 2º.
IV- O lo 1º o lo 2º, pero lo 1º; por tanto, no lo 2º.
V- O lo 1º o lo 2º, pero no lo 2º; por tanto, lo 1º.
Donde:
los ordinales = variables proposicionales
I- = modus ponens
II- = modus tollens
IV-V- = silogismo disyuntivo

Triple diferencia que anticipa la semántica de Frege:
1) voz significante o aludida, (corpórea)
2) cosa aludida por dicha voz, (corpórea)
3) significado de la cosa, (incorpóreo)
De aquí la primera paradoja semántica, la del mentiroso, (pseudomenos), «todos los cretenses mienten», (EPIMÉNIDES, s,VI a. C.).

2- La imagen medieval de la lógica  
a). El sentido de la lógica medieval
Necesidad de análisis racional, de su coherencia lógica, de las Escrituras > desarrollo lógica del lenguaje ordinario, arte del lenguaje, ciencia de la palabra > gramática.
Hasta el s. XI:
BOECIO, (480-524): aristotelismo exiguo y estoicismo, Tópicos de Cicerón.
ANSELMO DE CANTERBURY, (1033-1109): argumento ontológico de la existencia de Dios, gramática filosófica.

A partir del s. XI, periodo creador, 2 fases:
1ª- Hasta mediados del XIII, lógica como pura dialéctica, sin contenidos materiales: PEDRO ABELARDO, (1079-1142), GUILLERMO DE SYRESWOOD, (m. 1242), PEDRO HISPANO, (m. 1277).
2ª- desde s. XIII al XIV, crítica de lo establecido y nueva temática, se conoce todo Aristóteles, influyen Avicena y Averroes, grandes lógicos cristianos: GUILLERMO DE OCCAM, (1285-1349), JUAN DE BURIDÁN, (1300-1358), ALBERTO DE SAJONIA, (1316-1390), PABLO DE VENECIA, (m. 1429).

b). Principales contribuciones lógica medieval.
3 lineas de investigación:
1). Teoría de las consecuencias. Redescubrimiento de teoremas de la lógica.
Anticipación leyes De Morgan, (PEDRO HISPANO), principio de contradictione quodlibet, (de un enunciado contradictorio se sigue formalmente cualquier otro), (Juan de Cornubia conocido como PSEUDO SCOTO), análisis no extensional de la implicación, (DIODORO CRONO), como definición de la noción de consecuencia como enunciado hipotético derivado condicionalmente de su antecedente, distinción entre consecuencia formal y material.
2). Teoría de la suposición de los términos, profundiza la cuantificación de Aristóteles y se anticipa a la de Frege sin abandonar el esquema sujeto predicado.
La dualidad actual significado, intensión /referencia, extensión, se corresponde con la medieval de significatio, sentido / suppositio, función referencial.
También se anticipa la distinción actual mención/uso. Se entendía que un término puede referirse a si mismo, (supositio materialis) o a las cosas que significa (supositio personalis).
3). Pleno desarrollo de la lógica modal, uso de razonamientos en contextos modales. Necesidad de estudiar cuestiones teológico morales.
Problema semántico de la verdad, paradojas y sofismas.
RAMON LLULL, (1235-1315).

3- La imagen moderna de la lógica.
a). El humanismo del Renacimiento
Reacción al pensamiento medieval. Importancia de Cicerón y Platon. Culto a la dialéctica y la retórica.
PIERRE DE LA RAMÉE, (Petrus Ramus, 1516-1572). Dialectique. Empobrecimiento de la lógica deductiva.

b). Bacon y Port-Royal.
FRANCIS BACON, (1561-1626). Novum Organun. Lógica inductiva como alternativa a la Aristotélica.
JOACHIM JUNGUIUS, Logica Hamburgensis (1630), «un circulo es una figura, quien dibuja un circulo dibuja una figura».
ANTOINE ARNAULD y PIERRE NICOLE, La lógica o el arte de pensar, (La lógica de Port-Royal, 1662). Influyente hasta el s. XIX. Lógica deductiva con epistemología y metodología. Doctrina de la "comprensión y la extensión de los términos y conceptos generales".

c). Desde Kant a Mill.
Interregno histórico de la lógica.
Escasa creación.
I KANT, Lecciones de lógica, (1800), espíritu de Port-Royal.
JOHN STUARD MILL, (1803-1873). Sistema de lógica inductiva y deductiva, (1843).

B. LA IMÁGEN MATEMÁTICA DE LA LÓGICA
4- El sueño de Leibniz
Convergencia matemáticas filosofía, s. XVII y XVIII.
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ, (1646-1716). Racionalismo idealista y optimismo metafísico. Cálculo infinitesimal. "Precursor" y referente de Frege.

a). La idea de una «mathesis universalis»
Reglas y notación similar a las de las matemáticas para los razonamientos. Rigor matemático para la filosofía mediante una nueva lógica. El estudio de la cantidad l de la cualidad.

b). Los secretos del cálculo.
«Caracteristica universal» = notación simbólica, que corresponda a los pensamientos. Si simples, caracteres simples y a los compuestos, tales. Por la correspondencia entre números y pensamientos la aritmética deviene filosófica.
El calculo racional es una idea subsidiaria de la anterior, un cálculo lógico de cualidades. Para dirimir las diferencias de opinión: «[...] ¡calculemos!».

5- La revolución de Boole y Frege.
Definición del paradigma no aristotélico actual.
Lógica = ciencia exacta = matemática.
1854. Las leyes del pensamiento, GEORGES BOOLE, (1815-1864), creación de una matemática de la lógica, con las leyes del álgebra.
1879. Conceptografía, GOTTLOB FREGE, lógica de la matemática, marco y fundamento de las ciencias.

a) El álgebra de Boole.
Producto de los avances de su época, formulaciones más abstractas de las matemáticas.
N. H. ABEL y Evaristo GALOIS, teoría de grupos.
George PEACOCK, perspectiva simbólica o abstracta del álgebra.
W. R. HAMILTON, álgebra vectorial.

En El análisis matemático de la lógica, (1847), BOOLE dice que la validez del análisis depende de las leyes y de su combinación, no de los símbolos. Extrapola a la lógica la notación y las reglas del álgebra para solucionar proposiciones categóricas y silogismos como si fuesen ecuaciones.
Se basa en 3 intuiciones:
1) Sustitución del sistema numérico decimal por el sistema binario. Así se pueden equiparar las operaciones matemáticas de suma y producto con las lógicas de disyunción y conjunción.
2) Las formulas de álgebra lógica sirven de forma alternativa, para la silogística, (cálculo de clases), y como operaciones deductivas sobre enunciados complejos, (cálculo proposicional); la división clara de la lógica sujeta a un solo cálculo formal.
3) Representación del Todo o la Nada, (cálculo de clases); y verdad o falsedad, (cálculo proposicional), con los símbolos «1» y «0». Matematización de la operación mental llamada elección o selección, según la que concebimos colecciones de cosas.
EJEMPLO:
Si x es una clase de cosas, 1 -x es su clase complementaria (todas las cosas que no son x).
x = hombres
y = animales
z = piedras
xz = 0, (la clase xz es nula), es una proposición categórica universal negativa que indica que «Ningún hombre es una piedra».
x(1-y) = 0, (el producto del sujeto con la complementaria del predicado es nulo), es universal positiva, «No hay hombres que no sean animales».
En Las leyes del pensamiento, (1854), explica con álgebra lógica temas filosóficos y presenta una teoría de la probabilidad.
Limitaciones:
- Falla en el sentido lógico de los pasos intermedios de su álgebra.
- Complicaciones en la interpretación de la suma lógica como disyunción inclusiva.
- No atiende al problema de la lógica de las relaciones.

William Stanley JEVONS, (1835-1882), dio coherencia y complicó el cálculo de Boole.
Lewis CARROLL, (1832-1898), El juego de la lógica, (1886).
John VENN, (1834-1923), los diagramas; problema del compromiso existencial de las proposiciones categóricas. Symbolic logic, (1881).

b) La lógica de Peirce.
Charles Sanders PEIRCE, (1839-1914), fundador del pragmatismo, (William James, John Dewey).
Formaliza la lógica y desarrolla el cálculo de relaciones. Análisis de la operación del producto relativo. Descubre, (después de Frege), el uso de cuantificadores. Introduce la relación implicativa, construye y usa tablas de verdad, (antes que Witgenstein), para decidir la validez de las funciones veritativas. Reduce los conectores a uno solo, (functor de Peirce o negación conjunta) antes que Sheffer. Creador de la semiótica, y autor de la teoría de la abducción de la lógica inductiva.

c). La lógica de Frege.
Autor de una teoría abstracta de la inferencia completa. Nuevo paradigma deductivo, no aristotélico, construye un lenguaje artificial, ideografico bidimensional, que se aparta del natural por su «función-argumento» en lugar de «sujeto-predicado» y cuantificadores como marco básico de las deducciones.
GOTTLOB FREGE, (1848-1925). Conceptografía. La matemática puede deducirse de la lógica, para lo que diseñó un lenguaje artificial. Las pruebas científicas se fundamentan en la experiencia y en la lógica, y para está, hay que prescindir del lenguaje natural y ceñirse al contenido conceptual y a las inferencias. Así Frege:
1) inventó el modelo «función-argumento» para formalizar propisiciones.
2) Inventó el cuantificador
3) Inventó el cálculo cuantificacional y la cuantificación múltiple.
4) Formalización precisa de la implicación material.
5) Conexión sistemática de los cálculos proposicionales y cuantificacionales.
6) Axiomatización completa de la lógica elemental.
7) Distinción entre axiomas y reglas de inferencia.
Frege reduce
el vocabulario lógico a: implicador, negador y generalizador.
el sistema axiomático a:
8 tautologías: carga de premisas, dos cadenas de silogismo hipotético, modus tollens, dos leyes de doble negación y dos de equivalencia,
1 ley cuantificacional de eliminación del generalizador.
La única regla de inferencia explícita es el modus ponens.

El programa logicista de Frege se origina en el momento del debilitamiento del fundamento de la aritmética y de la teoría de número. Busca establecer una base conceptual, no intuitiva, a las matemáticas. Demostrar que lógica y matemática tienen el mismo estatuto epistemologico, la matemática puede reducirse a la lógica porque sus conceptos se pueden obtener ...

La semantica de Frege. ...

d). La teoría clásica de conjuntos.
Aparece al mismo tiempo que Frege. Resulta de las investigaciones de GEORG CANTOR, (1845-1918), acerca de la idea de número, y de la noción de conjunto finito y transfinito.
Doble concepción filosófico matemática de infinito:
- infinito potencial, aquello a lo que nos podemos acercar sin alcanzarlo,
- infinito actual o existencial, aquello que ya está dado de una vez por todas.
En matemáticas prevalece la idea de infinito potencial, p. e. la serie de los números naturales. Cantor introdujo explícitamente la idea de infinito actual en las matemáticas.
"Conjunto", (o "clase", "colección", "agregado" y "dominio"), según Cantor: coincide en parte con la noción de "totalidad" del sentido común o de la filosofia. Es «[...] la reunión en una totalidad M de objetos m de nuestra percepción o nuestro pensamiento que sean definidos y distintos, (y que se denominan elementos de M)». Así:
a) libertad omnímoda de componer tonalidades a partir de objetos cualesquiera,
b) exigencia de que tales objetos sean: "definidos" para decidir su pertenencia a un conjunto dado y "distintos" para evitar confusiones y repeticiones en el control de lis objetos.
Teorema fundamental de la teoría de conjuntos: «el conjunto de los números reales no es enumerable». Prueba indirecta del teorema, el método diagonal:   parte del supuesto de que lo continuo se puede enumerar y de la contradicción que se deriva de ese supuesto.
1) El teorema se demuestra tomando como continuo el intervalo particular de los números reales que va del 0 al 1, (segmento finito de la linea representativa del sistema). El intervalo se denota I. La prueba se podrá extender así a todo l continuo.
2) Los elementos, (números reales), del continuo se representan como sus decimales, (fracciones). Un teorema elemental sobre los decimales establece: todo numero real positivo puede ser expandido o representado por un decimal infinito o no terminativo, que después de cualquier de sus dígitos contiene otro distinto de cero.
3) un conjunto equivalente al de los naturales, enumerables, no puede contener todos los decimales del continuo o de un intervalo del mismo.

6- De Russell a Hilbert.
a) La lógica de Russell y de Wittgenstein
BERTRAND RUSSELL, (1872-1970), defendió y a la vez, arruinó, el programa logicista, (deducción de la matemática a partir de la lógica), con los Principia Mathematica (1910-1913); con la paradoja de las clases y la teoría de tipos, (causa e intento de solución, respectivas de la "crisis de los fundamentos de la matemática).
Influido por Cantor, por la Conceptografia de Frege y en especial por la claridad y la fuerza intuitiva de Peano.

La paradoja de las clases o paradoja de Russell. Se refiere a la contradicción entre los conjuntos que no pertenecen a si mismos.
1) Hay conjuntos y conjuntos de conjuntos. P. e. existe un conjunto de pájaros, uno de insectos y un conjunto de especies animales que los incluye.
2) Son conjuntos, (o clases), propios las que no son miembros de si mismos, (el conjunto de los pájaros, p. e., no es un pájaro). Impropios, son los conjuntos que son miembros de si mismos, (como el grupo de todos los grupos).
3) La clase de Russell, R, es la clase de todas las clases propias.
4) R, ¿es propia o impropia?.
5) Si R es propia deberá ser miembro de si misma con lo que no puede ser propia. Si R no es propia, entonces no es miembro de si misma, luego es una clase propia.
6) X pertenece a R syss no es el caso que X pertenezca a R, (por definición de R)
     R pertenece a R syss no es el caso que R pertenezca a R, (sustituyendo    
     X por R)
     No es posible que R y su negación sean equivalentes.
El 16 de junio de 1902 Russell escribió a Frege y le contó su descubrimiento. El 22 Frege le contestó: "la aritmética se tambalea" y poco después abandonó su trabajo.

La teoría de tipos y descripciones. Fue el intento de Russell por sostener el proyecto logicista. Se publicó en 1908 como: "La teoría de los tipos como base de la lógica matemática". De acuerdo con la idea de Henry Poincaré, Russell formuló su principio del circulo vicioso para bloquear las paradojas y que dice que una proposición no puede ser argumento de si misma o que "ninguna totalidad puede contener miembros cuya definición incluya los miembros que la integran". La teoría de los tipos determina cuando se aplica este principio distinguiendo una serie ascendente de estratos en el lenguaje:
1) Los términos o sujetos de las proposiciones atómicas, que denotan individuos y jamas pueden funcionar como predicados, constituyen el tipo lógico primero y más bajo.
2) La totalidad de las proposiciones atómicas y de las proposiciones cuantificadas en las que solo las variables de individuo queden ligadas por la cuantificación son las proposiciones de primer orden que constituyen el segundo tipo lógico.
3) Las proposiciones que versen sobre estas últimas, (cuyos cuantificadores no afectan solo a símbolos de individuo), son las proposiciones de segundo orden que constituyen el tercer tipo lógico, y así sucesivamente.
La base de estos tipos es la realidad. Las proposiciones de primer orden tratan de las propiedades inmediatas de los objetos y las de segundo orden tratan de las propiedades secundarias de los objetos. La jerarquía entre los tipos es lógica e incumplirla hace carentes de sentido, (ni V ni F), a las proposiciones aunque sean correctas gramaticalmente. Las proposiciones paradójicas se corrigen así al eliminar la confusión de orden entre tipos en que incurren.
Esta "teoría simple de tipos" fue aceptada en general, pero Russell le añadió la compleja "teoría ramificada", para evitar las definiciones circulares, subdividiendo los tipos en ordenes y tomando por criterio la definición del correlato objetivo de las estructuras lingüísticas. La teoría de las descripciones, ("Sobre la denotación", 1905), es producto también de aquella época.

Los Principia Mathematica y el ideal logicista. Russell fue más espirita que platónico. Los números no podían ser objetos matemáticos reales. Los Principia se dedicaron a defender el proyecto logicista y se escribieron con la ayuda de Alfred North WHITEHEAD, (1861-1947). Inspirados en el lenguaje simbólico de Peano. En el primer volumen, además de la teoría de tipos, se desarrolla axiomaticamente la lógica matemática, (calculo proposicional, cuantificacional, y de conjuntos y relaciones). En los dos restantes, matemática, aritmética de cardinales finitos e infinitos, aritmética de relaciones, series y teoría de ordinales. La obra tiene defectos forales y de justificación critica, y cuestiones como el teorema de reductibiidad, (ad hoc para evitar que se eliminasen definiciones importantes al aplicar la teoría ramificada), no convenció a nadie.

Las críticas de Wittgenstein y Ramsey.
En el Tractatus aparecen las objeciones de Ludwig WITTGENSTEIN, (1897-1951), a los Principia; para él la lógica no dice nada acerca del mundo. El sistema axiomático pierde importancia cuando las constantes lógicas son interdefinibles y las proposiciones lógicas son tautologías cuyo valor de verdad se decide con tablas. F. P. RAMSEY, (1903-1930), discípulo de Russell, dividió las paradojas en lógicas que se bloquean con la teoría simple de tipos, y semánticas, irrelevantes para los Principia. Eliminó la teoría ramificada y el axioma de reductibilidad.

b) La teoría axiomática de conjuntos, (sistema de Zermelo-Fraenkel).
Ernst Zermelo, en "Investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos" (1908), definió la teoría de conjuntos como la rama de la matemática que investiga las nociones de "numero", "orden" y "función" además de desarrollar los fundamentos lógicos de la aritmética. Sometió la teoría de conjuntos a restricciones para evitar las contradicciones, y las paradojas, la redujo a siete axiomas y unas pocas definiciones, en el marco formal de la lógica de primer orden. El universo de objetos es el de todos los conjuntos e individuos, (indicados por las metavariables x, y,...), y el símbolo primitivo €, (del ε griego), significa "pertenece a", y los símbolos definidos C que indica la relación de inclusión o de subconjunto y C de inclusión o subconjunto propios.
Los 7 axiomas son:
- Axioma de extensionalidad
- Axioma de pares
- Axioma de separación
- Axioma del conjunto potencia
- Axioma de unión
- Axioma de infinito
- Axioma de elección, el más discutido, y que dice así: para todo conjunto t de conjuntos no vacíos que no tengan ningún elemento en común, hay un conjunto u que consta de un y solo un elemento de cada uno de los conjuntos de t. Ha originado la investigación de una teoría no cantoniana de conjuntos a partir de la negación del propio axioma de elección.
Fraenkel en 1921 añadió el axioma de reemplazo: para todo conjunto y toda función con una variable existe el conjunto que contiene exactamente los miembros determinados por fv perteneciendo v a x.
Von Newmann, en 1925 propuso el axioma de fundación o restricción: todo conjunto no vacío contiene un miembro tal que no comparte con él ningún miembro común. En su sistema alternativo conserva elementos de Cantor pero duplica conceptos primitivos, (distinción conjuntos / clases, (los conjuntos pueden ser miembros de otros conjuntos pero las clases no).

c) El intuicionismo de Browser.
Opuesto al logicismo. Relacionado con la idea y concepción de infinito. El logicismo trata el infinito como actual, o completo, o existencial. El intuicionismo como potencial, o en devenir, o constructivo.
L. E. J. BROWER, (1881-1966), en 1908, publicó La no fiabilidad de los principios de la lógica, documento fundacional del intuicionismo. Cuestionó principios y teoremas de la lógica y la matemática clásicas como p. e. el de tercio excluido que solo se puede considerar valido en contextos finitos. Incluso el principio de no contradicción se ve en entredicho en la ley de De Morgan que lo equipara al tercio excluido. También se cuestiona la existencia por reducción al absurdo en favor de una prueba constructiva, (aducir un caso existente o, en su defecto, un método para construirlo).
El intuicionismo extiende sus criticas a la relación entre lógica y matemáticas dando prioridad al proceso matemático que es anterior en la experiencia del conocimiento humano, como dato concreto de la intuición, vinculado a nuestra experiencia primordial del tiempo, cuando se produce la acción de contar, (intuición pura de Kant). Solo después de la aritmética aparece la lógica. Los métodos estrictos de los intuicionistas limitan sus resultados.

d) El formalismo de Hilbert.
David HILBERT, (1862-1947), fundador de la escuela formalista adoptó una postura intermedia, para salvar las verdades de la matemática clásica y la teoria de conjuntos. Para él la matemática es la síntesis de enunciados reales, de la experiencia, producto de operaciones finitas y enunciados ideales, como la teoría de los números imaginarios, síntesis de la que no se puede prescindir. El significado de las ciencias reside en idealizaciones simplificadas. El programa de Hilbert une formalización axiomática con rigor constructivo, en un primer momento formaliza la matemática clásica y en segundo lugar se demuestra el sistema formal resultante, recurriendo a métodos finitistas o constructivos, sistema desprovisto de significado, consistente y libre de contradicción. Esta es la metamatematica o teoría de la prueba, que implica la distinción entre teoría y metateoría, o tres niveles de teoría:
1) teoría intuitiva que va a ser formalizada.
2) teoría resultante, expresada en lenguaje formal
3) la metateoria que investiga desde un lenguaje informal y con métodos constructivos, la teoría formalizada.
Kurt GÖDEL, discípulo de Hilbert, acabo con el programa formalista.

e) Platonismo y constructivismo.
El logicismo y la teoría de conjuntos son platonistas, en el sentido realista que sostiene que existe una esencia de las cosas que se corresponde con las palabras que usamos.
Los intuicionistas son conceptualistas en tanto piensan que el significado de los nombres del habla común, no es real sino una construcción de la mente.
Los formalistas serian una mezcla de conceptualismo y nominalismo (al estilo de Occam que pensaba que las palabras son solo proferencias verbales sin correspondencia mental ni real).
Intuicionistas y formalistas se agrupan hoy bajo la etiqueta de construccionistas que exigen de las pruebas lógicas un rigor que sus detractores neoplatonicos critican por su alcance limitado.

7- Situación actual de la lógica
La revolución de la lógica de los años treinta se basa en:
1) el descubrimiento de los cálculos de deducción decimal de Gerhard GENTZEN.
2) el establecimiento de los teoremas de limitación de Kurt Gödel y Alonzo CHURCH, y de las teorías de la computación de Emil POST y Alan M. TURING.
3) el desarrollo de la semántica de Alfred TARSKI.
Gódel en 1931 demostró, con su teorema de incompletud, que si la aritmética es consistente es, en consecuencia, incompleta. De lo cual surgió el segundo teorema de Gödel, según el cual la consistencia del sistema formal de la aritmética se puede formular pero no se puede demostrar dentro del propio sistema, aunque, poco después, Gentzen demostró la consistencia de la aritmética recurriendo a métodos no finitistas como la inducción transfinita.

Algunas de las principales aportaciones técnicas a expansión de la lógica a partir de los 50 del siglo XX:
- E. W. BETH y R. SMULLYAN formularon el método de tablas semánticas.
- L. HENKIN y W. CRAIG hicierón hallazgos metalogicos.
- W. V. O. QUINE, P. F. STRAWSON y S. KRIPKE investigaron en el área filosófica.

En el desarrollo de las lógicas no clásicas destacan:
- C. I. LEWIS y Jan ŁUKASIEWICZ como primeros investigadores de la lógica modal.
- R. CARNAP, J. HINTIKKA, y E. J. LEMMON, le añadierón el enfoque semántico a la lógica modal.
- Jan ŁUKASIEWICZ y J. B. ROSSER, las lógicas polivalentes.
- K. LAMBERT, la lógica libre.
- A. HEYTING, intuicionista.
- P. LORENZEN, dialógica.
- H. B. CURRY, combinatoria.
- G. H. von WRIGHT, deóntica.
- J. HINTIKKA, epistémica.
- R. MONTAGUE, pragmática.

En el campo de la teoría de conjuntos,
- Kurt GÖDEL y P. J. COHEN, investigaron sobre consistencias y la independencia de la hipótesis el continuo y el axioma de elección.
- Alfred TARSKI, en la teoría de modelos.

En la conexión entre la lógica y la matemática:
- A. A. MÁRKOV, a teoría de algoritmos.
- S. C. KLEENE y H. ROGERS las funciones recursivas.

En la aplicación de la lógica simbólica a la lingüística y la informática:
- N. CHOMSKY y R. MONTAGUE la automatización del razonamiento (algoritmo de resolución de Robinson).
- A. NEWELL, H. SIMON, J. M. McCARTHY y M. MINSKY, l desarrollo de la inteligencia artificial.