FORMALISMO: 🔎 🌐 👥

escuela filosofica de la matemática (Hilbert, Curry), caracterizada por la opinión de que los números se pueden identificar con marcas sobre el papel.
(Haack, 1978).

Por formalismo matemático se entiende, en materias relacionadas con las fundamentos de las matemáticas, la filosofía de las matemáticas y la filosofía de la lógica, una teoría que sostiene que las proposiciones de las matemáticas y la lógica pueden considerarse como declaraciones sobre las consecuencias de ciertas reglas de manipulación de símbolos o términos o cadena de caracteres.

Por ejemplo, la geometría euclidiana puede ser vista como un juego (en el sentido de Wittgenstein) cuyo objetivo consiste en mover ciertas cadenas de símbolos (llamados axiomas) de acuerdo con un conjunto de reglas llamadas reglas de inferencia para generar nuevas cadenas. En este juego se puede demostrar o probar que el teorema de Pitágoras es válido porque la cadena que representa el teorema de Pitágoras se puede construir usando sólo las reglas establecidas.

De acuerdo con el formalismo, las "verdades" expresadas en la lógica y las matemáticas no son acerca de los números, series, o triángulos o cualquier otra materia específica, de hecho, no son "sobre" nada en absoluto. Son formas sintácticas cuyos contenidos o significados o referencias (ver Sobre el sentido y la referencia) no existen a menos que se les de una interpretación (o semántica).

Se ha sugerido que la adopción del punto de vista formalista exime a los matemáticos de la necesidad de preocuparse por cuestiones de los “fundamentos de las matemáticas” y proceder como si estos asuntos hubieran sido resueltos o carecieran de interés matemático. Muchos agregan que, en la práctica, los sistemas axiomáticos que se estudian son sugeridos por las exigencias de la ciencia en cada caso particular.
(Wikipedia).

ATOMISMO LÓGICO: 🔎 🌐 👥

escuela de filosofía, (primer Wittgenstein, Russell), que trata de analizar lógicamente la estructura del mundo en sus componentes fundamentales, (los "átomos lógicos").
(Haack, 1978).

Doctrina filosófica, heredera en muchos aspectos del trabajo de Gottlob Frege en el siglo XIX,se sostuvo durante la primera mitad del siglo XX. Fundada sobre el rechazo del monismo idealista de tipo hegeliano y sobre el reconocimiento de un pluralismo irreductible en el mundo, el atomismo lógico recibe con Wittgenstein y Russell dos versiones diferentes. El nombre "atomismo lógico" se debe a Russell y aparece por primera vez en su obra La filosofía del atomismo lógico.
(Wikipedia).

LOGICISMO: 🔎 🌐 👥

escuela de filosofía de la matemática, caracterizada por la tesis, (Gottlob Frege, Bertrand Russell), de que las verdades de la aritmética son reducibles a la lógica, (o analíticas en el setido de Frege); los números son reducibles a conjuntos.
(Haack, 1978).

El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofía analítica en el siglo XX.
La doctrina tuvo su primer antecedente en Gottfried Leibniz. Sin embargo, el primer intento serio y detallado de reducir la matemática a la lógica tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Richard Dedekind, Georg Cantor y Giuseppe Peano articularon los principios básicos de la matemática, y Frege desarrolló el primer sistema de lógica de predicados.

Se alega que los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel socavan el propósito del proyecto.

(Wikipedia)

INTUICIONISMO: 🔎 🌐 👥

escuela de filosofía de la matemática (Brouwer, Heyting), caracterizada por la opinión de que los números son construcciones mentales; se apoya en una aritmética restringida y en una lógica no estándar.
(Haack, 1978).

En filosofía de las matemáticas, Intuicionismo o Neointuicionismo (contrario a preintuicionismo), es una aproximación a las matemáticas a partir de una visión mental y constructiva. Considera todo objeto matemático como producto de la mente humana, por ende, la existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de su construcción.

Esto contrasta con el enfoque clásico, que formula que la existencia de un objeto puede ser demostrada refutando su falsedad. Para los intuicionistas esto no es válido; la refutación de la falsedad de un objeto matemático no significa que es posible hallar una prueba constructiva de su existencia. Por consiguiente, el Intuicionismo es una variedad del Constructivismo matemático, aunque no son el mismo concepto.

Si los objetos son meras construcciones mentalesara para el Intuicionismo la validez de un enunciado matemático es equivalente a haber sido probado. Esto significa que un enunciado matemático no tiene el mismo significado para un intuicionista que para un matemático clásico.

Por ejemplo, decir A o B, para un intuicionista significa que A o B pueden ser probados. En particular la Ley de Tercero Excluido o Principio de Bivalencia, A ∨ ~A, no es válida por el hecho de que no se puede probar la declaración A o su negación.

El Intuicionismo también rechaza la abstracción del infinito; no considera asignarle a algún conjunto dado entidades infinitas, como el campo de los números naturales, o a una secuencia arbitraria de números racionales. Esto requiere la reconstrucción de los fundamentos de la Teoría de Conjuntos y el Cálculo como la Teoría Constructivista de Conjuntos y el Análisis Constructivo respectivamente.
(Wikipedia).