la aritmética es incompleta; hay una fbf aritmética que es verdadera, pero no es ni demostrable ni refutable, (Gödel, 1931).
(Haack, 1978).
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas.
El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse a partir de ellos. En particular, la conclusión del teorema se aplica siempre que la teoría aritmética en cuestión sea recursiva, esto es, una teoría en la que el proceso de deducción pueda llevarse a cabo mediante un algoritmo.
La prueba del teorema es totalmente explícita y en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en términos de números naturales es verdadera.
El segundo teorema de incompletitud es un caso particular del primero: afirma que una de las sentencias indecidibles de dicha teoría es aquella que «afirma» la consistencia de la misma. Es decir, que si el sistema de axiomas en cuestión es consistente, no es posible demostrarlo mediante dichos axiomas.
(Wikipedia).
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EQUIVALENCIA: 🔎
dos fbfs (enunciados) son lógicamente equivalentes si necesariamente tienen el mismo valor de verdad. Son materialmente equivalentes si tienen el mismo valor de verdad.
(Haack, 1978).
En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos.
La equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como: p ≡ q, Epq, o p ⇔ q.
Sin embargo, estos símbolos también se usan para la equivalencia material; su apropiada interpretación depende del contexto. La equivalencia lógica es diferente a la equivalencia material, aunque ambos conceptos estén estrechamente relacionados.
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos.
La equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como: p ≡ q, Epq, o p ⇔ q.
Sin embargo, estos símbolos también se usan para la equivalencia material; su apropiada interpretación depende del contexto. La equivalencia lógica es diferente a la equivalencia material, aunque ambos conceptos estén estrechamente relacionados.
(Wikipedia).
DOBLE NEGACIÓN: 🔎 🌐 👥
el principio de doble negacion establece que A ≡￢￢A.
(Haack, 1978).
En lógica proposicional, la doble negación es el teorema que afirma que: si un enunciado es verdadero, entonces no es el caso de que lo declarado no es cierto. Esto se expresa diciendo que una proposición A es lógicamente equivalente a no (no A), o por la fórmula A ≡￢￢A, donde el signo ≡ expresa equivalencia lógica y el signo ￢ expresa negación.
Este principio es considerado como ley del pensamiento en la lógica clásica, pero la lógica intuicionista no lo permite.
Fue declarado por Russell y Whitehead como teorema de la lógica proposicional en Principia Mathematica como: ⊢. p ≡ ∼ (∼p), «este es el principio de la doble negación, es decir, una proposición es equivalente a la falsedad de su negación».
El principium contradictiones de los lógicos modernos (especialmente Leibnitz y Kant) en la fórmula A es no no A, difiere de significado y en la aplicación, de la proposición aristotélica, es decir, la Ley de Contradicción: no (A y no A), es decir ~ (A & ~ A), o no ((B es A) y (B es no A)), que se refiere a la relación entre una afirmación y un juicio negativo.
Según Aristóteles, en una sentencia (B se juzga como un A), contradiciendo a la otra (B se juzga como un no A), la proposición posterior (A no es no A) se consigue a partir de la relación entre el sujeto y el predicado en un solo juicio, el predicado contradice el tema. Aristóteles afirmaba que una sentencia es falsa cuando otra es verdadera, escritores posteriores (Leibnitz y Kant) afirmaban que un juicio es en sí mismo falso, porque el predicado contradice al tema. Se buscaba un principio desde el cual se puede saber si ciertas proposiciones son verdaderas en sí mismas. De la proposición aristotélica no es posible inferir inmediatamente la verdad o falsedad de una proposición particular, sino solamente la imposibilidad de creer tanto en la afirmación como en la negación, al mismo tiempo.
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
En lógica proposicional, la doble negación es el teorema que afirma que: si un enunciado es verdadero, entonces no es el caso de que lo declarado no es cierto. Esto se expresa diciendo que una proposición A es lógicamente equivalente a no (no A), o por la fórmula A ≡￢￢A, donde el signo ≡ expresa equivalencia lógica y el signo ￢ expresa negación.
Este principio es considerado como ley del pensamiento en la lógica clásica, pero la lógica intuicionista no lo permite.
Fue declarado por Russell y Whitehead como teorema de la lógica proposicional en Principia Mathematica como: ⊢. p ≡ ∼ (∼p), «este es el principio de la doble negación, es decir, una proposición es equivalente a la falsedad de su negación».
El principium contradictiones de los lógicos modernos (especialmente Leibnitz y Kant) en la fórmula A es no no A, difiere de significado y en la aplicación, de la proposición aristotélica, es decir, la Ley de Contradicción: no (A y no A), es decir ~ (A & ~ A), o no ((B es A) y (B es no A)), que se refiere a la relación entre una afirmación y un juicio negativo.
Según Aristóteles, en una sentencia (B se juzga como un A), contradiciendo a la otra (B se juzga como un no A), la proposición posterior (A no es no A) se consigue a partir de la relación entre el sujeto y el predicado en un solo juicio, el predicado contradice el tema. Aristóteles afirmaba que una sentencia es falsa cuando otra es verdadera, escritores posteriores (Leibnitz y Kant) afirmaban que un juicio es en sí mismo falso, porque el predicado contradice al tema. Se buscaba un principio desde el cual se puede saber si ciertas proposiciones son verdaderas en sí mismas. De la proposición aristotélica no es posible inferir inmediatamente la verdad o falsedad de una proposición particular, sino solamente la imposibilidad de creer tanto en la afirmación como en la negación, al mismo tiempo.
(Wikipedia).
DISYUNCIÓN: 🔎
fbf (enunciado) de la forma "A ∨ B": Dilema disyuntivo es la forma del argumento: si A ⊦ C, B ⊦ C, entonces A ∨ B ⊦ C.
(Haack, 1978).
En lógica formal, una disyunción lógica (∨) (específicamente, una disyunción inclusiva) entre dos proposiciones es un conector lógico, cuyo valor de la verdad resulta falso syss ambas proposiciones son falsas, y verdadero de cualquier otra forma.
Existen diferentes contextos donde se utiliza la disyunción lógica. En lenguajes formales, la palabra "o" se utiliza en español para simbolizar una disyunción lógica. Se debe distinguir entre el "o" inclusivo y el "o" exclusivo. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la unión (∪). En álgebra Booleana, la disyunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de más (+).
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
En lógica formal, una disyunción lógica (∨) (específicamente, una disyunción inclusiva) entre dos proposiciones es un conector lógico, cuyo valor de la verdad resulta falso syss ambas proposiciones son falsas, y verdadero de cualquier otra forma.
Existen diferentes contextos donde se utiliza la disyunción lógica. En lenguajes formales, la palabra "o" se utiliza en español para simbolizar una disyunción lógica. Se debe distinguir entre el "o" inclusivo y el "o" exclusivo. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la unión (∪). En álgebra Booleana, la disyunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de más (+).
(Wikipedia).
DISPOSICIONAL: 🔎
un predicado disposicional adscribe una tendencia o "hábito"; en castellano muchos de tales predicados terminan en "-ble", (como "irritable", "soluble"). Los enunciados disposicionales, ("este terrón de azucar es soluble") son equivalentes a los condicionales subjuntivos, ("si este terrón de azucar se pusiera en agua, se disolvería").
(Haack, 1978).
(Haack, 1978).
CONTRARIO: 🔎
las fbfs (enunciados) A y B son contrarios si no pueden ser los dos verdaderos, pero pueden ser los dos falsos.
(Haack, 1978).
Para completar la información podéis ver en Wikipedia el cuadro de oposición de los juicios.
(Haack, 1978).
Para completar la información podéis ver en Wikipedia el cuadro de oposición de los juicios.
CONTRADICTORIO: 🔎
el contradictorio de una fbf (enunciado) A es una fbf (enunciado) que debe ser falso si A es verdadero y verdadero si A es falso.
(Haack, 1978).
En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena» expresan contradicciones.
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena» expresan contradicciones.
(Wikipedia).
CONJUNCIÓN: 🔎
una fbf (enunciado) de la forma "A & B" ("A y B").
(Haack, 1978).
En razonamiento formal, una conjunción lógica (∧, &) entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor es verdad sólo si ambas proposiciones son ciertas, y es falso de cualquier otra forma.
Existen diferentes contextos donde se utiliza la conjunción lógica.
En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la intersección (∩). En álgebra Booleana, la conjunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de punto medio (·).
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
En razonamiento formal, una conjunción lógica (∧, &) entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor es verdad sólo si ambas proposiciones son ciertas, y es falso de cualquier otra forma.
Existen diferentes contextos donde se utiliza la conjunción lógica.
En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la intersección (∩). En álgebra Booleana, la conjunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de punto medio (·).
(Wikipedia).
Claves:
Algebra Booleana,
Conectivas,
Conjunción,
Enunciado,
Falso,
fbf,
Teoría de conjuntos,
Verdadero
BIVALENCIA: 🔎
toda fbf, (oración, enunciado, proposición), es o verdadera o falsa. (Haack, 1978).
La lógica clásica es un sistema lógico que admite solo dos valores de verdad para sus enunciados (premisas y conclusión). En la lógica bivalente, una proposición solo puede ser verdadera o falsa, no existen valores intermedios de verdad.
El clásico sistema de lógica bivalente es la lógica aristotélica que se sustenta en tres principios básicos:
Principio de identidad: es verdad que A es idéntico a A (a sí mismo). A = A
Principio de no contradicción: A no puede ser A y no-A al mismo tiempo. ¬ (A ∧ ¬A)
Principio del tercero excluido: A es verdadero o es falso, no hay una tercera posibilidad. A v ¬A
No admite tampoco matices modales en sus enunciados, tales como "es necesario que", "es imposible que", etc. Se limita al lenguaje enunciativo o declarativo.
Existen otros sistemas de lógicas que no se sustentan en estos principios y por lo tanto admiten más de dos valores de verdad. Los sistemas de lógica modales o plurivalentes (como la lógica trivalente de Jan Łukasiewicz o la lógica trivalente de Stephen Kleene), aceptan un tercer valor, como "indeterminado" o "posible".
(Wikipedia)
La lógica clásica es un sistema lógico que admite solo dos valores de verdad para sus enunciados (premisas y conclusión). En la lógica bivalente, una proposición solo puede ser verdadera o falsa, no existen valores intermedios de verdad.
El clásico sistema de lógica bivalente es la lógica aristotélica que se sustenta en tres principios básicos:
Principio de identidad: es verdad que A es idéntico a A (a sí mismo). A = A
Principio de no contradicción: A no puede ser A y no-A al mismo tiempo. ¬ (A ∧ ¬A)
Principio del tercero excluido: A es verdadero o es falso, no hay una tercera posibilidad. A v ¬A
No admite tampoco matices modales en sus enunciados, tales como "es necesario que", "es imposible que", etc. Se limita al lenguaje enunciativo o declarativo.
Existen otros sistemas de lógicas que no se sustentan en estos principios y por lo tanto admiten más de dos valores de verdad. Los sistemas de lógica modales o plurivalentes (como la lógica trivalente de Jan Łukasiewicz o la lógica trivalente de Stephen Kleene), aceptan un tercer valor, como "indeterminado" o "posible".
(Wikipedia)
TAUTOLOGÍA: 🔎
en sentido técnico, una fbf que toma el valor "verdadero" para todas las asignaciones de valores de verdad de sus componentes atómicos, (extendido en el caso de las lógicas polivalentes a: si toma un valor designado para todas las asignaciones de sus componentes atómicos). La prueba de corrección para el calculo de oraciones muestra que solo las tautologías son teoremas; la prueba de completud muestra que todas las tautologías son teoremas.
Intuitivamente una tautología es un enunciado que dice la misma cosa dos veces y, por tanto, es trivialmente verdadero. (Haack, 1978).
Intuitivamente una tautología es un enunciado que dice la misma cosa dos veces y, por tanto, es trivialmente verdadero. (Haack, 1978).
Claves:
Atómico,
Completitud,
Corrección,
Enunciado,
fbf,
Lógicas polivalentes,
Tautología,
Teorema,
Valor
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