estudio de las propiedades formales, (por ejemplo, consistencia, completud, decidibilidad), de los sistemas lógicos formales.
(Haack, 1978).
La metalógica es una rama de la lógica que estudia las propiedades y los componentes de los sistemas lógicos. Las propiedades más importantes que se pueden demostrar de los sistemas lógicos son la consistencia, decidibilidad y completitud.
(Wikipedia).
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TEOREMA DE INCOMPLETUD (GÖDEL): 🔎 🌐 👥
la aritmética es incompleta; hay una fbf aritmética que es verdadera, pero no es ni demostrable ni refutable, (Gödel, 1931).
(Haack, 1978).
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas.
El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse a partir de ellos. En particular, la conclusión del teorema se aplica siempre que la teoría aritmética en cuestión sea recursiva, esto es, una teoría en la que el proceso de deducción pueda llevarse a cabo mediante un algoritmo.
La prueba del teorema es totalmente explícita y en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en términos de números naturales es verdadera.
El segundo teorema de incompletitud es un caso particular del primero: afirma que una de las sentencias indecidibles de dicha teoría es aquella que «afirma» la consistencia de la misma. Es decir, que si el sistema de axiomas en cuestión es consistente, no es posible demostrarlo mediante dichos axiomas.
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas.
El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse a partir de ellos. En particular, la conclusión del teorema se aplica siempre que la teoría aritmética en cuestión sea recursiva, esto es, una teoría en la que el proceso de deducción pueda llevarse a cabo mediante un algoritmo.
La prueba del teorema es totalmente explícita y en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en términos de números naturales es verdadera.
El segundo teorema de incompletitud es un caso particular del primero: afirma que una de las sentencias indecidibles de dicha teoría es aquella que «afirma» la consistencia de la misma. Es decir, que si el sistema de axiomas en cuestión es consistente, no es posible demostrarlo mediante dichos axiomas.
(Wikipedia).
Claves:
Algoritmo,
Aritmética,
Axioma,
Completitud,
Conclusión,
Consistencia,
Demstrable,
Enunciado,
fbf,
Incompletud,
Indecidible,
Recursivo,
Refutable,
Teorema,
Verdadero
CORRECTO: 🔎
I. Un argumento es correcto si (1) es válido y (2) sus premisas, y, por tanto, su conclusión, son verdaderas.
II. Un sistema lógico es correcto syss todos sus teoremas son lógicamente verdaderos; corrección es la conversa de completud.
(Haack, 1978).
A la corrección también se la llama validez lógica y no hay que confundirla con verdad logica. Puede haber pues, argumentos correctos, pero falsos y viceversa.
En lógica, la validez es la propiedad que tienen los argumentos cuando las premisas implican la conclusión. Si la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas, se dice que el argumento es deductivamente válido. Algunos consideran estas dos nociones [deductivo y válido] idénticas y usan ambos términos indistintamente. Otros, sin embargo, consideran que puede haber argumentos válidos que no sean deductivamente válidos, como las inducciones. En cualquier caso, de las inducciones a veces se dice que son buenas o malas, en vez de válidas o inválidas.
(Wikipedia).
II. Un sistema lógico es correcto syss todos sus teoremas son lógicamente verdaderos; corrección es la conversa de completud.
(Haack, 1978).
A la corrección también se la llama validez lógica y no hay que confundirla con verdad logica. Puede haber pues, argumentos correctos, pero falsos y viceversa.
En lógica, la validez es la propiedad que tienen los argumentos cuando las premisas implican la conclusión. Si la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas, se dice que el argumento es deductivamente válido. Algunos consideran estas dos nociones [deductivo y válido] idénticas y usan ambos términos indistintamente. Otros, sin embargo, consideran que puede haber argumentos válidos que no sean deductivamente válidos, como las inducciones. En cualquier caso, de las inducciones a veces se dice que son buenas o malas, en vez de válidas o inválidas.
(Wikipedia).
Claves:
Argumento,
Completitud,
Conclusión,
Converso,
Correcto,
Premisas,
Sistema lógico,
syss,
Teorema,
Validez,
Verdad lógica,
Verdadero
DECIDIBLE: 🔎
un sistema es decidible si hay un procedimiento mecánico ("un procedimiento de decisión") para determinar, para cada fbf del sistema, si esa fbf es un teorema, [conjunto de las verdades del sistema], o no. Ejemplos: el cálculo de oraciones es decidible; todo el cálculo de predicados (incluyendo los predicados poliádicos así como los monádicos) no lo es. Las tablas de verdad proporcionan el procedimiento de decisión para el cálculo de oraciones; una prueba de tablas de verdad determina si una fbf es una tautología, y, por los resultados de corrección y completud, todas y solamente las tautologías son teoremas.
(Haack, 1978).
Cuando una fórmula no puede ser probada verdadera ni falsa, se dice que la fórmula es independiente, y que por lo tanto el sistema es no decidible. La única manera de incorporar una fórmula independiente a las verdades del sistema es postulándola como axioma. Dos ejemplos muy importantes de fórmulas independientes son el axioma de elección en la teoría de conjuntos, y el quinto postulado de la geometría euclidiana.
Decidibilidad sintáctica
Un sistema formal es decidible sintácticamente si el conjunto de todas las fórmulas válidas en el sistema es decidible. Es decir, existe un algoritmo tal que para cada fórmula del sistema es capaz de decidir en un número finito de pasos si la fórmula es válida o no en el sistema.
La lógica de primer orden es sintácticamente decidible si se limita a predicados con un solo argumento (monádica). Si se incluyen predicados con dos o más argumentos, no es decidible.
Toda teoría completa y recursivamente enumerable es decidible sintácticamente. Por otro lado, toda teoría que incluya aritmética básica no es decidible sintácticamente.
Decidibilidad semántica
Un sistema formal es decidible semánticamente si existe un método lógico y finito para evidenciar que el axioma, proposición, fórmula etc. es un teorema.
(Wikipedia)
(Haack, 1978).
Cuando una fórmula no puede ser probada verdadera ni falsa, se dice que la fórmula es independiente, y que por lo tanto el sistema es no decidible. La única manera de incorporar una fórmula independiente a las verdades del sistema es postulándola como axioma. Dos ejemplos muy importantes de fórmulas independientes son el axioma de elección en la teoría de conjuntos, y el quinto postulado de la geometría euclidiana.
Decidibilidad sintáctica
Un sistema formal es decidible sintácticamente si el conjunto de todas las fórmulas válidas en el sistema es decidible. Es decir, existe un algoritmo tal que para cada fórmula del sistema es capaz de decidir en un número finito de pasos si la fórmula es válida o no en el sistema.
La lógica de primer orden es sintácticamente decidible si se limita a predicados con un solo argumento (monádica). Si se incluyen predicados con dos o más argumentos, no es decidible.
Toda teoría completa y recursivamente enumerable es decidible sintácticamente. Por otro lado, toda teoría que incluya aritmética básica no es decidible sintácticamente.
Decidibilidad semántica
Un sistema formal es decidible semánticamente si existe un método lógico y finito para evidenciar que el axioma, proposición, fórmula etc. es un teorema.
(Wikipedia)
COMPLETO: 🔎
o completitud lógica.
Un sistema formal es completo en sentido debil si toda fbf que es lógicamente verdadera en el sistema es un teorema del sistema; o completo en el sentido fuerte si cualquier nuevo axioma independiente que se le añada lo hace inconsistente. Ejemplos: el cálculo de oraciones es completo en sentido fuerte; los sistemas modales corrientes son completos en sentido debil; la teoria de conjuntos y la aritmetica son incompletos.
(Haack, 1978).
En metalógica, la completitud semántica es la propiedad metateórica que tienen los sistemas formales cuando todas las fórmulas lógicamente válidas (todas las verdades lógicas) del sistema son además teoremas del sistema. Es decir, cuando el conjunto de las verdades lógicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas. En otras palabras, si A es una fórmula cualquiera del lenguaje y S es el sistema formal bajo consideración, entonces se cumple que: Si ⊨s A entonces ⊢s A
El segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que ningún sistema (definido recursivamente) con cierto poder expresivo puede ser a la vez consistente y semánticamente completo.
Por otra parte, la completitud sintáctica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando, para toda fórmula del lenguaje del sistema, o bien es un teorema o bien su negación lo es. Esto es, existe una prueba para cada fórmula o para su negación.
La lógica proposicional y la lógica de primer orden son ambas semánticamente completas, pero no sintácticamente completas. Por ejemplo, en la lógica proposicional, la fórmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negación, de modo que eso basta para mostrar que no es sintácticamente completa. No obstante, como ninguna de esas dos fórmulas es una verdad lógica, no afectan a la completitud semántica del sistema.
Otra propiedad metateórica distinta es la completitud semántica fuerte, que dice: si en un sistema formal S, A es una fbf cualquiera que es una consecuencia semántica de un conjunto Γ de fórmulas, entonces existe una derivación de A a partir de Γ. En símbolos: Si Γ ⊨s A entonces Γ ⊢s A
(Wikipedia)
Un sistema formal es completo en sentido debil si toda fbf que es lógicamente verdadera en el sistema es un teorema del sistema; o completo en el sentido fuerte si cualquier nuevo axioma independiente que se le añada lo hace inconsistente. Ejemplos: el cálculo de oraciones es completo en sentido fuerte; los sistemas modales corrientes son completos en sentido debil; la teoria de conjuntos y la aritmetica son incompletos.
(Haack, 1978).
En metalógica, la completitud semántica es la propiedad metateórica que tienen los sistemas formales cuando todas las fórmulas lógicamente válidas (todas las verdades lógicas) del sistema son además teoremas del sistema. Es decir, cuando el conjunto de las verdades lógicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas. En otras palabras, si A es una fórmula cualquiera del lenguaje y S es el sistema formal bajo consideración, entonces se cumple que: Si ⊨s A entonces ⊢s A
El segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que ningún sistema (definido recursivamente) con cierto poder expresivo puede ser a la vez consistente y semánticamente completo.
Por otra parte, la completitud sintáctica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando, para toda fórmula del lenguaje del sistema, o bien es un teorema o bien su negación lo es. Esto es, existe una prueba para cada fórmula o para su negación.
La lógica proposicional y la lógica de primer orden son ambas semánticamente completas, pero no sintácticamente completas. Por ejemplo, en la lógica proposicional, la fórmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negación, de modo que eso basta para mostrar que no es sintácticamente completa. No obstante, como ninguna de esas dos fórmulas es una verdad lógica, no afectan a la completitud semántica del sistema.
Otra propiedad metateórica distinta es la completitud semántica fuerte, que dice: si en un sistema formal S, A es una fbf cualquiera que es una consecuencia semántica de un conjunto Γ de fórmulas, entonces existe una derivación de A a partir de Γ. En símbolos: Si Γ ⊨s A entonces Γ ⊢s A
(Wikipedia)
Claves:
Axioma,
Completitud,
Completo,
Consistencia,
fbf,
Metalógica,
Sistema formal,
Teorema,
Verdad lógica
TAUTOLOGÍA: 🔎
en sentido técnico, una fbf que toma el valor "verdadero" para todas las asignaciones de valores de verdad de sus componentes atómicos, (extendido en el caso de las lógicas polivalentes a: si toma un valor designado para todas las asignaciones de sus componentes atómicos). La prueba de corrección para el calculo de oraciones muestra que solo las tautologías son teoremas; la prueba de completud muestra que todas las tautologías son teoremas.
Intuitivamente una tautología es un enunciado que dice la misma cosa dos veces y, por tanto, es trivialmente verdadero. (Haack, 1978).
Intuitivamente una tautología es un enunciado que dice la misma cosa dos veces y, por tanto, es trivialmente verdadero. (Haack, 1978).
Claves:
Atómico,
Completitud,
Corrección,
Enunciado,
fbf,
Lógicas polivalentes,
Tautología,
Teorema,
Valor
MUNDO POSIBLE: 🔎 🌐 👥
en lógica y filosofía, esta noción se utiliza para interpretar afirmaciones modales como «es posible que llueva» o «es necesario que 1 + 2 = 3», y para definir algunas nociones filosóficas como esencia y superveniencia.
No existe acuerdo sobre qué son los mundos posibles:
En lógica modal, la noción de mundo posible se toma como primitiva y por lo tanto no se define.
David Lewis, (realismo modal), los mundos posibles son universos, y nuestro universo es sólo uno entre muchos.
Saul Kripke, los mundos posibles no son algo que se descubre, sino algo que se estipula mediante descripciones.
Adams y Plantinga, (entre otros), los mundos posibles son conjuntos maximales, (que si se le agrega cualquier otra proposición, se vuelve inconsistente), de proposiciones. En tanto conjuntos, son entidades abstractas, platónicas.
Gottfried Leibniz introdujo por primera vez la noción de mundo posible en su Teodicea (1710). Para él los mundos posibles son ideas en la mente de Dios, distintas maneras en las que podría haber creado el mundo. Como Dios es benevolente, el mundo actual debe ser el mejor de todos los mundos posibles.
En 1959, Saul Kripke utilizó la noción de mundo posible para dar una semántica formal a la lógica modal y demostrar su completitud semántica. Desde entonces, su uso se ha extendido a otras partes de la lógica y la filosofía, por ejemplo para definir nociones como esencia o superveniencia. Junto con la difusión de su uso, creció también el debate sobre qué son exactamente los mundos posibles.(Wikipedia).
No existe acuerdo sobre qué son los mundos posibles:
En lógica modal, la noción de mundo posible se toma como primitiva y por lo tanto no se define.
David Lewis, (realismo modal), los mundos posibles son universos, y nuestro universo es sólo uno entre muchos.
Saul Kripke, los mundos posibles no son algo que se descubre, sino algo que se estipula mediante descripciones.
Adams y Plantinga, (entre otros), los mundos posibles son conjuntos maximales, (que si se le agrega cualquier otra proposición, se vuelve inconsistente), de proposiciones. En tanto conjuntos, son entidades abstractas, platónicas.
Gottfried Leibniz introdujo por primera vez la noción de mundo posible en su Teodicea (1710). Para él los mundos posibles son ideas en la mente de Dios, distintas maneras en las que podría haber creado el mundo. Como Dios es benevolente, el mundo actual debe ser el mejor de todos los mundos posibles.
En 1959, Saul Kripke utilizó la noción de mundo posible para dar una semántica formal a la lógica modal y demostrar su completitud semántica. Desde entonces, su uso se ha extendido a otras partes de la lógica y la filosofía, por ejemplo para definir nociones como esencia o superveniencia. Junto con la difusión de su uso, creció también el debate sobre qué son exactamente los mundos posibles.(Wikipedia).
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