METALÓGICA: 🔎

estudio de las propiedades formales, (por ejemplo, consistencia, completud, decidibilidad), de los sistemas lógicos formales.
(Haack, 1978).

La metalógica es una rama de la lógica que estudia las propiedades y los componentes de los sistemas lógicos. Las propiedades más importantes que se pueden demostrar de los sistemas lógicos son la consistencia, decidibilidad y completitud.
(Wikipedia).

MATRIZ CARACTERÍSTICA: 🔎

una matriz es un conjunto de tablas de verdad. Una matriz M es característica en un sistema S syss todas y solo las fbfs designadas uniformemente (tautológicas) en M son teoremas de S. Un sistema es n-valente si tiene una matriz característica n-valente y ninguna matriz caracteristica con menos de n valores; plurivalente si es n-valente para n > 2; infinitamente plurivalente si es n-valente para infinitas n.
(Haack, 1978).

INDEPENDIENTE: 🔎

los axiomas de un sistema formal son independientes unos de otros si ninguno es una consecuencia lógica de los otros.
(Haack, 1978).

En lógica matemática, la noción de independencia o indecidibilidad se refiere a la imposibilidad de demostrar o refutar un predicado a partir de otros.
Una sentencia σ se dice independiente o indecidible en una teoría lógica T si T no demuestra ni refuta σ; esto es, si no es posible probar σ partiendo de T, ni probar que σ es falsa.
(Wikipedia).

ARGUMENTO: 🔎

(del latín argumentum) es un razonamiento mediante el cual se intenta probar, refutar o justificar una proposición o tesis; es un discurso dirigido con una finalidad.

Es la expresión oral o escrita de un razonamiento.

Las cualidades fundamentales de un argumento son: la consistencia y coherencia; entendiendo por tal el hecho de que el contenido de la expresión, discurso u obra adquiera un sentido o significado que se dirige a un interlocutor con finalidades diferentes:
• Como contenido de verdad: consistencia y coherencia con otras verdades admitidas, o con referencia a un hecho o situación que haga verdadero o falso dicho contenido.
• Como esquema lógico-formal: consistencia y coherencia con un sistema que no admite contradicción.
• Como función lógico-matemática: consistencia y coherencia con el hecho de “ser algo real” frente a una mera posibilidad lógica que define un mundo o una situación posible en un determinado marco teórico que justifica la función.
• Como discurso dirigido a la persuasión​: como motivación para promover o proponer una determinada acción.
• Como finalidad de acción: consistencia o coherencia con otros intereses o motivaciones del individuo o individuos receptores del contenido como motivación a actuar de determinada manera.

Es por tanto un discurso dirigido:
• Al entendimiento, para «convencer» o generar una creencia nueva mediante el conocimiento evidente de nuevas verdades, basándose en una racionalidad común.
• A la emotividad para «motivar» una acción determinada.
(Wikipedia).

DECIDIBLE: 🔎

un sistema es decidible si hay un procedimiento mecánico ("un procedimiento de decisión") para determinar, para cada fbf del sistema, si esa fbf es un teorema, [conjunto de las verdades del sistema], o no. Ejemplos: el cálculo de oraciones es decidible; todo el cálculo de predicados (incluyendo los predicados poliádicos así como los monádicos) no lo es. Las tablas de verdad proporcionan el procedimiento de decisión para el cálculo de oraciones; una prueba de tablas de verdad determina si una fbf es una tautología, y, por los resultados de corrección y completud, todas y solamente las tautologías son teoremas.
(Haack, 1978).

Cuando una fórmula no puede ser probada verdadera ni falsa, se dice que la fórmula es independiente, y que por lo tanto el sistema es no decidible. La única manera de incorporar una fórmula independiente a las verdades del sistema es postulándola como axioma. Dos ejemplos muy importantes de fórmulas independientes son el axioma de elección en la teoría de conjuntos, y el quinto postulado de la geometría euclidiana.

Decidibilidad sintáctica
Un sistema formal es decidible sintácticamente si el conjunto de todas las fórmulas válidas en el sistema es decidible. Es decir, existe un algoritmo tal que para cada fórmula del sistema es capaz de decidir en un número finito de pasos si la fórmula es válida o no en el sistema.
La lógica de primer orden es sintácticamente decidible si se limita a predicados con un solo argumento (monádica). Si se incluyen predicados con dos o más argumentos, no es decidible.
Toda teoría completa y recursivamente enumerable es decidible sintácticamente. Por otro lado, toda teoría que incluya aritmética básica no es decidible sintácticamente.

Decidibilidad semántica
Un sistema formal es decidible semánticamente si existe un método lógico y finito para evidenciar que el axioma, proposición, fórmula etc. es un teorema.
(Wikipedia)

COMPLETO: 🔎

o completitud lógica.

Un sistema formal es completo en sentido debil si toda fbf que es lógicamente verdadera en el sistema es un teorema del sistema; o completo en el sentido fuerte si cualquier nuevo axioma independiente que se le añada lo hace inconsistente. Ejemplos: el cálculo de oraciones es completo en sentido fuerte; los sistemas modales corrientes son completos en sentido debil; la teoria de conjuntos y la aritmetica son incompletos.
(Haack, 1978).

En metalógica, la completitud semántica es la propiedad metateórica que tienen los sistemas formales cuando todas las fórmulas lógicamente válidas (todas las verdades lógicas) del sistema son además teoremas del sistema. Es decir, cuando el conjunto de las verdades lógicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas. En otras palabras, si A es una fórmula cualquiera del lenguaje y S es el sistema formal bajo consideración, entonces se cumple que: Si  ⊨s A entonces  ⊢s A

El segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que ningún sistema (definido recursivamente) con cierto poder expresivo puede ser a la vez consistente y semánticamente completo.

Por otra parte, la completitud sintáctica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando, para toda fórmula del lenguaje del sistema, o bien es un teorema o bien su negación lo es. Esto es, existe una prueba para cada fórmula o para su negación.

La lógica proposicional y la lógica de primer orden son ambas semánticamente completas, pero no sintácticamente completas. Por ejemplo, en la lógica proposicional, la fórmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negación, de modo que eso basta para mostrar que no es sintácticamente completa. No obstante, como ninguna de esas dos fórmulas es una verdad lógica, no afectan a la completitud semántica del sistema.

Otra propiedad metateórica distinta es la completitud semántica fuerte, que dice: si en un sistema formal S, A es una fbf cualquiera que es una consecuencia semántica de un conjunto Γ de fórmulas, entonces existe una derivación de A a partir de Γ. En símbolos: Si  Γ ⊨s A entonces Γ ⊢s A
(Wikipedia)

CÁLCULO DE PREDICADOS: 🔎

(o lógica de primer orden, también llamada lógica predicativa, lógica de predicados, L₁), es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden.

Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo, y con predicados y funciones cuyos argumentos son sólo constantes o variables de individuo.

El cálculo de predicados tiene un poder expresivo muy superior al de la lógica proposicional.
(Wikipedia)

CÁLCULO LÓGICO: 🔎

o derivación lógica, es un algoritmo o sistema lógico que permite inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.

La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como conclusión a partir de otro u otros, llamados premisas, mediante la aplicación de reglas de inferencia.

Decimos que alguien infiere o deduce "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.

En lo cotidiano utilizamos el razonamiento deductivo; partimos de enunciados empíricos, supuestamente verdaderos y válidos, para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos.

La lógica matemática, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las reglas que permiten la transformación de unos enunciados (premisas) en otros (conclusiones) con objeto de convertir las operaciones deductivas en un cálculo riguroso y eficaz.

Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento, previa la simbolización adecuada de los enunciados en fórmulas o Expresiones bien formadas (fbf) construimos un modelo dentro de un sistema deductivo que, referido al lenguaje ordinario, llamamos de Cálculo de deducción natural.

La representación gráfica de los símbolos (constantes lógicas) no está normalizada, lo que lleva a veces a ciertas dificultades de interpretación.
(Wikipedia)

LÓGICA PROPOSICIONAL: 🔎

la lógica proposicional o lógica de orden cero (L₀) es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas lógicas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.

La lógica proposicional trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores, o variables interpretables como entidades. En lógica proposicional si bien no hay signos para variables de tipo entidad, sí existen signos para variables proposicionales (es decir, que pueden ser interpretadas como proposiciones con un valor de verdad definido), de ahí el nombre proposicional.

La lógica proposicional incluye además de variables interpretables como proposiciones simples signos para conectivas lógicas, por lo que dentro de este tipo de lógica puede analizarse la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.
(Wikipedia).

SINTAXIS: 🔎

estudio de las relaciones formales entre las expresiones. Al vocabulario, a las reglas de formación y a los axiomas/reglas de inferencia de un sistema se les llama la sintaxis del sistema.
(Haack, 1978).

CONSISTENCIA: 🔎 👥

un sistema formal es consistente syss ninguna fbf de la forma "A & ~A" es un teorema; o syss no toda fbf del sistema es un teorema  o (en el sentido de Emil Leon Post, aplicable al calculo de oraciones) syss ninguna letra de oracion sola es un teorema.
(Haack, 1978).

TEOREMA: 🔎

es una proposición que afirma una verdad demostrable. Es una fbf que puede ser demostrada dentro de un sistema formal, partiendo de axiomas u otros teoremas.
Una fbf A es un teorema de L syss A se sigue de los axiomas de L, si los hay, mediante las reglas de inferencia de L. (Haack, 1978).