una matriz es un conjunto de tablas de verdad. Una matriz M es característica en un sistema S syss todas y solo las fbfs designadas uniformemente (tautológicas) en M son teoremas de S. Un sistema es n-valente si tiene una matriz característica n-valente y ninguna matriz caracteristica con menos de n valores; plurivalente si es n-valente para n > 2; infinitamente plurivalente si es n-valente para infinitas n.
(Haack, 1978).
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TEOREMA DE INCOMPLETUD (GÖDEL): 🔎 🌐 👥
la aritmética es incompleta; hay una fbf aritmética que es verdadera, pero no es ni demostrable ni refutable, (Gödel, 1931).
(Haack, 1978).
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas.
El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse a partir de ellos. En particular, la conclusión del teorema se aplica siempre que la teoría aritmética en cuestión sea recursiva, esto es, una teoría en la que el proceso de deducción pueda llevarse a cabo mediante un algoritmo.
La prueba del teorema es totalmente explícita y en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en términos de números naturales es verdadera.
El segundo teorema de incompletitud es un caso particular del primero: afirma que una de las sentencias indecidibles de dicha teoría es aquella que «afirma» la consistencia de la misma. Es decir, que si el sistema de axiomas en cuestión es consistente, no es posible demostrarlo mediante dichos axiomas.
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas.
El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse a partir de ellos. En particular, la conclusión del teorema se aplica siempre que la teoría aritmética en cuestión sea recursiva, esto es, una teoría en la que el proceso de deducción pueda llevarse a cabo mediante un algoritmo.
La prueba del teorema es totalmente explícita y en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en términos de números naturales es verdadera.
El segundo teorema de incompletitud es un caso particular del primero: afirma que una de las sentencias indecidibles de dicha teoría es aquella que «afirma» la consistencia de la misma. Es decir, que si el sistema de axiomas en cuestión es consistente, no es posible demostrarlo mediante dichos axiomas.
(Wikipedia).
Claves:
Algoritmo,
Aritmética,
Axioma,
Completitud,
Conclusión,
Consistencia,
Demstrable,
Enunciado,
fbf,
Incompletud,
Indecidible,
Recursivo,
Refutable,
Teorema,
Verdadero
RESOLUCIÓN: 🔎
se trata de una regla o mecanismo de inferencia utilizada por la mayoría de los sistemas de programación lógica, sobre cierto tipo de proposiciones, especialmente para los demostradores automatizados de teoremas.
(Wikipedia).
La programación se relaciona con el uso de la lógica (restringida a cláusulas) para representar y resolver problemas. Este uso es ampliamente aceptado en el ámbito de la inteligencia artificial (IA), donde la idea se resume como sigue: un problema o sujeto de investigación puede describirse mediante un conjunto de fbfs, de preferencia en forma de cláusulas. Si tal descripción es lo suficientemente precisa, la solución al problema o la respuesta a la pregunta planteada en la investigación, es una consecuencia lógica del conjunto de fbfs que describen el problema.
Por lo tanto, encontrar que fbf 𝛷 son consecuencia lógica de un conjunto de fbf 𝛥, es crucial para muchas áreas de la IA, incluyendo la programación lógica. De forma que se busca un procedimiento, algorítmico, que nos permita establecer si 𝛥 ⊨ 𝛷 es el caso, o no.
En el caso de la lógica proposicional, la implicación lógica es decidible, es decir, existe un algoritmo que puede resolver el problema (contestar si ó no para cada caso particular 𝛥 ⊨ 𝛷). Si n es el número de átomos distintos que ocurren en estas fbf, el número de interpretaciones posibles es finito, de hecho es 2ⁿ. Un algoritmo para computar 𝛥 ⊨ 𝛷 simplemente busca si 𝛷 es verdadero en todos los modelos de 𝛥.
En el contexto de la lógica de primer orden, intuitivamente, vemos que el procedimiento de decisión de la lógica proposicional no es adecuado, pues en este caso podemos tener una cantidad infinita de dominios e interpretaciones diferentes.
(Alejandro Guerra Hernández, Departamento de Inteligencia Artificial, Universidad Veracruzana, México)
Ver articulo completo aquí.
(Wikipedia).
La programación se relaciona con el uso de la lógica (restringida a cláusulas) para representar y resolver problemas. Este uso es ampliamente aceptado en el ámbito de la inteligencia artificial (IA), donde la idea se resume como sigue: un problema o sujeto de investigación puede describirse mediante un conjunto de fbfs, de preferencia en forma de cláusulas. Si tal descripción es lo suficientemente precisa, la solución al problema o la respuesta a la pregunta planteada en la investigación, es una consecuencia lógica del conjunto de fbfs que describen el problema.
Por lo tanto, encontrar que fbf 𝛷 son consecuencia lógica de un conjunto de fbf 𝛥, es crucial para muchas áreas de la IA, incluyendo la programación lógica. De forma que se busca un procedimiento, algorítmico, que nos permita establecer si 𝛥 ⊨ 𝛷 es el caso, o no.
En el caso de la lógica proposicional, la implicación lógica es decidible, es decir, existe un algoritmo que puede resolver el problema (contestar si ó no para cada caso particular 𝛥 ⊨ 𝛷). Si n es el número de átomos distintos que ocurren en estas fbf, el número de interpretaciones posibles es finito, de hecho es 2ⁿ. Un algoritmo para computar 𝛥 ⊨ 𝛷 simplemente busca si 𝛷 es verdadero en todos los modelos de 𝛥.
En el contexto de la lógica de primer orden, intuitivamente, vemos que el procedimiento de decisión de la lógica proposicional no es adecuado, pues en este caso podemos tener una cantidad infinita de dominios e interpretaciones diferentes.
(Alejandro Guerra Hernández, Departamento de Inteligencia Artificial, Universidad Veracruzana, México)
Ver articulo completo aquí.
EQUIVALENCIA: 🔎
dos fbfs (enunciados) son lógicamente equivalentes si necesariamente tienen el mismo valor de verdad. Son materialmente equivalentes si tienen el mismo valor de verdad.
(Haack, 1978).
En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos.
La equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como: p ≡ q, Epq, o p ⇔ q.
Sin embargo, estos símbolos también se usan para la equivalencia material; su apropiada interpretación depende del contexto. La equivalencia lógica es diferente a la equivalencia material, aunque ambos conceptos estén estrechamente relacionados.
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos.
La equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como: p ≡ q, Epq, o p ⇔ q.
Sin embargo, estos símbolos también se usan para la equivalencia material; su apropiada interpretación depende del contexto. La equivalencia lógica es diferente a la equivalencia material, aunque ambos conceptos estén estrechamente relacionados.
(Wikipedia).
DISYUNCIÓN: 🔎
fbf (enunciado) de la forma "A ∨ B": Dilema disyuntivo es la forma del argumento: si A ⊦ C, B ⊦ C, entonces A ∨ B ⊦ C.
(Haack, 1978).
En lógica formal, una disyunción lógica (∨) (específicamente, una disyunción inclusiva) entre dos proposiciones es un conector lógico, cuyo valor de la verdad resulta falso syss ambas proposiciones son falsas, y verdadero de cualquier otra forma.
Existen diferentes contextos donde se utiliza la disyunción lógica. En lenguajes formales, la palabra "o" se utiliza en español para simbolizar una disyunción lógica. Se debe distinguir entre el "o" inclusivo y el "o" exclusivo. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la unión (∪). En álgebra Booleana, la disyunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de más (+).
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
En lógica formal, una disyunción lógica (∨) (específicamente, una disyunción inclusiva) entre dos proposiciones es un conector lógico, cuyo valor de la verdad resulta falso syss ambas proposiciones son falsas, y verdadero de cualquier otra forma.
Existen diferentes contextos donde se utiliza la disyunción lógica. En lenguajes formales, la palabra "o" se utiliza en español para simbolizar una disyunción lógica. Se debe distinguir entre el "o" inclusivo y el "o" exclusivo. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la unión (∪). En álgebra Booleana, la disyunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de más (+).
(Wikipedia).
DEDUCCIÓN: 🔎
una secuencia de fbfs (de L) es una deducción (en L) de B a partir de A₁ ... An syss es un argumento válido (en L) con A₁... An como premisas y B como conclusión.
(Haack, 1978).
En lógica, un razonamiento deductivo es un argumento donde la conclusión se infiere necesariamente de las premisas. En su definición formal, una deducción es una secuencia finita de fórmulas, de las cuales la última es designada como la conclusión (la conclusión de la deducción), y todas las fórmulas en la secuencia son, o bien axiomas, o bien premisas, o bien inferencias directas a partir de fórmulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia.
Por ejemplo, la siguiente es una deducción de la fórmula q a partir de las premisas p → q y p en el sistema de la lógica proposicional: p → q, p; q (Este argumento se conoce con el nombre de modus ponendo ponens).
Un ejemplo de razonamiento deductivo es el siguiente:
Todos los humanos son mortales.
Sócrates es humano.
Por lo tanto, Sócrates es mortal.
La primera premisa afirma que todos los objetos clasificados como "humanos" tienen el atributo "mortal". La segunda premisa asegura que "Sócrates" es clasificado como "humano" (miembro del conjunto "humanos"). Por silogismo, se puede concluir entonces que "Sócrates" debe ser "mortal", pues hereda este atributo a partir de su clasificación como "humano". Esta forma de argumento se conoce como Silogismo.
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
En lógica, un razonamiento deductivo es un argumento donde la conclusión se infiere necesariamente de las premisas. En su definición formal, una deducción es una secuencia finita de fórmulas, de las cuales la última es designada como la conclusión (la conclusión de la deducción), y todas las fórmulas en la secuencia son, o bien axiomas, o bien premisas, o bien inferencias directas a partir de fórmulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia.
Por ejemplo, la siguiente es una deducción de la fórmula q a partir de las premisas p → q y p en el sistema de la lógica proposicional: p → q, p; q (Este argumento se conoce con el nombre de modus ponendo ponens).
Un ejemplo de razonamiento deductivo es el siguiente:
Todos los humanos son mortales.
Sócrates es humano.
Por lo tanto, Sócrates es mortal.
La primera premisa afirma que todos los objetos clasificados como "humanos" tienen el atributo "mortal". La segunda premisa asegura que "Sócrates" es clasificado como "humano" (miembro del conjunto "humanos"). Por silogismo, se puede concluir entonces que "Sócrates" debe ser "mortal", pues hereda este atributo a partir de su clasificación como "humano". Esta forma de argumento se conoce como Silogismo.
(Wikipedia).
Claves:
Argumento,
Axioma,
Conclusión,
Deducción,
fbf,
Inferencia,
Lenguaje formal,
Premisas,
Reglas de inferencia,
Silogismo,
syss,
Validez
CONTRARIO: 🔎
las fbfs (enunciados) A y B son contrarios si no pueden ser los dos verdaderos, pero pueden ser los dos falsos.
(Haack, 1978).
Para completar la información podéis ver en Wikipedia el cuadro de oposición de los juicios.
(Haack, 1978).
Para completar la información podéis ver en Wikipedia el cuadro de oposición de los juicios.
CONTRADICTORIO: 🔎
el contradictorio de una fbf (enunciado) A es una fbf (enunciado) que debe ser falso si A es verdadero y verdadero si A es falso.
(Haack, 1978).
En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena» expresan contradicciones.
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena» expresan contradicciones.
(Wikipedia).
CONSECUENCIA: 🔎
una fbf (enunciado) B es una consecuencia lógica de A syss hay un argumento válido de A a B.
(Haack, 1978).
La consecuencia lógica es la relación entre las premisas y la conclusión de un argumento deductivamente válido, un concepto central de la lógica. Dos características generalmente aceptadas de la relación de consecuencia lógica son que es «necesaria» y además «formal».
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
La consecuencia lógica es la relación entre las premisas y la conclusión de un argumento deductivamente válido, un concepto central de la lógica. Dos características generalmente aceptadas de la relación de consecuencia lógica son que es «necesaria» y además «formal».
(Wikipedia).
CONJUNCIÓN: 🔎
una fbf (enunciado) de la forma "A & B" ("A y B").
(Haack, 1978).
En razonamiento formal, una conjunción lógica (∧, &) entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor es verdad sólo si ambas proposiciones son ciertas, y es falso de cualquier otra forma.
Existen diferentes contextos donde se utiliza la conjunción lógica.
En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la intersección (∩). En álgebra Booleana, la conjunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de punto medio (·).
(Wikipedia).
(Haack, 1978).
En razonamiento formal, una conjunción lógica (∧, &) entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor es verdad sólo si ambas proposiciones son ciertas, y es falso de cualquier otra forma.
Existen diferentes contextos donde se utiliza la conjunción lógica.
En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la intersección (∩). En álgebra Booleana, la conjunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de punto medio (·).
(Wikipedia).
Claves:
Algebra Booleana,
Conectivas,
Conjunción,
Enunciado,
Falso,
fbf,
Teoría de conjuntos,
Verdadero
INFERENCIA: 🔎
una persona infiere q de p si llega a aceptar q teniendo como base p, o llega a aceptar que si p fuera el caso, entonces q sería el caso.
Una inferencia es una evaluación que realiza la mente entre proposiciones. La inferencia es la acción y efecto de inferir, en otras palabras, deducir algo, sacar una consecuencia de otra cosa, conducir a un nuevo resultado. La inferencia nace a partir de una evaluación mental entre distintas expresiones, que al ser relacionadas como abstracciones, permiten trazar una implicación lógica.
En lógica formal, las inferencias son fbf de L que, al ser relacionadas, permiten trazar una línea lógica de condición o implicación lógica entre ellas. De esta forma, parte de lo verdadero a lo falso: posible (como hipótesis) o conocida (como argumento) de alguna o algunas de ellas, puede deducirse la verdad o falsedad de alguna o algunas de las otras fbf.
(Wikipedia)
(Haack, 1978).
En lógica formal, las inferencias son fbf de L que, al ser relacionadas, permiten trazar una línea lógica de condición o implicación lógica entre ellas. De esta forma, parte de lo verdadero a lo falso: posible (como hipótesis) o conocida (como argumento) de alguna o algunas de ellas, puede deducirse la verdad o falsedad de alguna o algunas de las otras fbf.
(Wikipedia)
Claves:
Argumento,
Condición,
Deducción,
Falso,
fbf,
Hipotesis,
Implicación,
Inferencia,
Lenguaje formal,
Verdadero
DECIDIBLE: 🔎
un sistema es decidible si hay un procedimiento mecánico ("un procedimiento de decisión") para determinar, para cada fbf del sistema, si esa fbf es un teorema, [conjunto de las verdades del sistema], o no. Ejemplos: el cálculo de oraciones es decidible; todo el cálculo de predicados (incluyendo los predicados poliádicos así como los monádicos) no lo es. Las tablas de verdad proporcionan el procedimiento de decisión para el cálculo de oraciones; una prueba de tablas de verdad determina si una fbf es una tautología, y, por los resultados de corrección y completud, todas y solamente las tautologías son teoremas.
(Haack, 1978).
Cuando una fórmula no puede ser probada verdadera ni falsa, se dice que la fórmula es independiente, y que por lo tanto el sistema es no decidible. La única manera de incorporar una fórmula independiente a las verdades del sistema es postulándola como axioma. Dos ejemplos muy importantes de fórmulas independientes son el axioma de elección en la teoría de conjuntos, y el quinto postulado de la geometría euclidiana.
Decidibilidad sintáctica
Un sistema formal es decidible sintácticamente si el conjunto de todas las fórmulas válidas en el sistema es decidible. Es decir, existe un algoritmo tal que para cada fórmula del sistema es capaz de decidir en un número finito de pasos si la fórmula es válida o no en el sistema.
La lógica de primer orden es sintácticamente decidible si se limita a predicados con un solo argumento (monádica). Si se incluyen predicados con dos o más argumentos, no es decidible.
Toda teoría completa y recursivamente enumerable es decidible sintácticamente. Por otro lado, toda teoría que incluya aritmética básica no es decidible sintácticamente.
Decidibilidad semántica
Un sistema formal es decidible semánticamente si existe un método lógico y finito para evidenciar que el axioma, proposición, fórmula etc. es un teorema.
(Wikipedia)
(Haack, 1978).
Cuando una fórmula no puede ser probada verdadera ni falsa, se dice que la fórmula es independiente, y que por lo tanto el sistema es no decidible. La única manera de incorporar una fórmula independiente a las verdades del sistema es postulándola como axioma. Dos ejemplos muy importantes de fórmulas independientes son el axioma de elección en la teoría de conjuntos, y el quinto postulado de la geometría euclidiana.
Decidibilidad sintáctica
Un sistema formal es decidible sintácticamente si el conjunto de todas las fórmulas válidas en el sistema es decidible. Es decir, existe un algoritmo tal que para cada fórmula del sistema es capaz de decidir en un número finito de pasos si la fórmula es válida o no en el sistema.
La lógica de primer orden es sintácticamente decidible si se limita a predicados con un solo argumento (monádica). Si se incluyen predicados con dos o más argumentos, no es decidible.
Toda teoría completa y recursivamente enumerable es decidible sintácticamente. Por otro lado, toda teoría que incluya aritmética básica no es decidible sintácticamente.
Decidibilidad semántica
Un sistema formal es decidible semánticamente si existe un método lógico y finito para evidenciar que el axioma, proposición, fórmula etc. es un teorema.
(Wikipedia)
CONDICIONAL: 🔎
los operadores "→", "⥽", etc.
Una fbf de la forma A → B (o enunciado de la forma "Si A entonces B") se llama también una fbf condicional o hipotética. "A" se llama antecedente y "B" el consecuente del condicional.
Un condicional subjuntivo es el que teine el verbo en subjuntivo (como "Si el impuesto sobre la renta se redujera a la mitad, estariamos todos encantados"); un condicional cotrafáctico es un condicional subjuntivo que implica que su antecedente es falso, (como "Si se hubiera reducido a la mitad el impuesto sobre la renta en el uúltimo presupuesto, estariamos todos encantados).
(Haack, 1978).
El condicional material, conocido como condicional, condicional funcional de verdad, o imprecisamente como implicación material, es una conectiva lógica que conecta dos proposiciones.
En lógica proposicional, el condicional material es una función de verdad binaria, que se vuelve falso cuando B es falsa siendo A verdadera, y se vuelve verdadero en cualquier otro caso.
En lógica de predicados, puede ser visto como una relación de subconjuntos entre la extensión de predicados (posiblemente complejos).
En el lenguaje natural, el condicional se expresa por medio de palabras como las siguientes:
Si llueve, (entonces) voy al cine.
Voy al cine a menos que no llueva.
Voy al cine solo / solamente si llueve.
Voy al cine si llueve.
Cuando llueve, voy al cine.
Si A, entonces B.
El condicional material intenta ser la versión formal de estas expresiones del lenguaje natural, y en orden descendente de acuerdo a la frecuencia de uso, se denota formalmente como:
A → B
A ⊃ B
A ⇒ B
CAB (en notación polaca)
donde A y B son proposiciones cualesquiera.
Es importante no confundir el concepto de condicional material con el de implicación lógica. La confusión es exacerbada porque los símbolos
A → B y A ⇒ B
son imprecisamente usados como expresiones equivalentes por muchos, cuando realmente no lo son. Aunque en conversaciones del día a día la diferencia no tiene mayor impacto, la diferencia sutil entre ambos conceptos es significativa en el entendimiento correcto de la lógica proposicional.
(Wikipedia)
Una fbf de la forma A → B (o enunciado de la forma "Si A entonces B") se llama también una fbf condicional o hipotética. "A" se llama antecedente y "B" el consecuente del condicional.
Un condicional subjuntivo es el que teine el verbo en subjuntivo (como "Si el impuesto sobre la renta se redujera a la mitad, estariamos todos encantados"); un condicional cotrafáctico es un condicional subjuntivo que implica que su antecedente es falso, (como "Si se hubiera reducido a la mitad el impuesto sobre la renta en el uúltimo presupuesto, estariamos todos encantados).
(Haack, 1978).
El condicional material, conocido como condicional, condicional funcional de verdad, o imprecisamente como implicación material, es una conectiva lógica que conecta dos proposiciones.
En lógica proposicional, el condicional material es una función de verdad binaria, que se vuelve falso cuando B es falsa siendo A verdadera, y se vuelve verdadero en cualquier otro caso.
En lógica de predicados, puede ser visto como una relación de subconjuntos entre la extensión de predicados (posiblemente complejos).
En el lenguaje natural, el condicional se expresa por medio de palabras como las siguientes:
Si llueve, (entonces) voy al cine.
Voy al cine a menos que no llueva.
Voy al cine solo / solamente si llueve.
Voy al cine si llueve.
Cuando llueve, voy al cine.
Si A, entonces B.
El condicional material intenta ser la versión formal de estas expresiones del lenguaje natural, y en orden descendente de acuerdo a la frecuencia de uso, se denota formalmente como:
A → B
A ⊃ B
A ⇒ B
CAB (en notación polaca)
donde A y B son proposiciones cualesquiera.
Es importante no confundir el concepto de condicional material con el de implicación lógica. La confusión es exacerbada porque los símbolos
A → B y A ⇒ B
son imprecisamente usados como expresiones equivalentes por muchos, cuando realmente no lo son. Aunque en conversaciones del día a día la diferencia no tiene mayor impacto, la diferencia sutil entre ambos conceptos es significativa en el entendimiento correcto de la lógica proposicional.
(Wikipedia)
COMPLETO: 🔎
o completitud lógica.
Un sistema formal es completo en sentido debil si toda fbf que es lógicamente verdadera en el sistema es un teorema del sistema; o completo en el sentido fuerte si cualquier nuevo axioma independiente que se le añada lo hace inconsistente. Ejemplos: el cálculo de oraciones es completo en sentido fuerte; los sistemas modales corrientes son completos en sentido debil; la teoria de conjuntos y la aritmetica son incompletos.
(Haack, 1978).
En metalógica, la completitud semántica es la propiedad metateórica que tienen los sistemas formales cuando todas las fórmulas lógicamente válidas (todas las verdades lógicas) del sistema son además teoremas del sistema. Es decir, cuando el conjunto de las verdades lógicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas. En otras palabras, si A es una fórmula cualquiera del lenguaje y S es el sistema formal bajo consideración, entonces se cumple que: Si ⊨s A entonces ⊢s A
El segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que ningún sistema (definido recursivamente) con cierto poder expresivo puede ser a la vez consistente y semánticamente completo.
Por otra parte, la completitud sintáctica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando, para toda fórmula del lenguaje del sistema, o bien es un teorema o bien su negación lo es. Esto es, existe una prueba para cada fórmula o para su negación.
La lógica proposicional y la lógica de primer orden son ambas semánticamente completas, pero no sintácticamente completas. Por ejemplo, en la lógica proposicional, la fórmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negación, de modo que eso basta para mostrar que no es sintácticamente completa. No obstante, como ninguna de esas dos fórmulas es una verdad lógica, no afectan a la completitud semántica del sistema.
Otra propiedad metateórica distinta es la completitud semántica fuerte, que dice: si en un sistema formal S, A es una fbf cualquiera que es una consecuencia semántica de un conjunto Γ de fórmulas, entonces existe una derivación de A a partir de Γ. En símbolos: Si Γ ⊨s A entonces Γ ⊢s A
(Wikipedia)
Un sistema formal es completo en sentido debil si toda fbf que es lógicamente verdadera en el sistema es un teorema del sistema; o completo en el sentido fuerte si cualquier nuevo axioma independiente que se le añada lo hace inconsistente. Ejemplos: el cálculo de oraciones es completo en sentido fuerte; los sistemas modales corrientes son completos en sentido debil; la teoria de conjuntos y la aritmetica son incompletos.
(Haack, 1978).
En metalógica, la completitud semántica es la propiedad metateórica que tienen los sistemas formales cuando todas las fórmulas lógicamente válidas (todas las verdades lógicas) del sistema son además teoremas del sistema. Es decir, cuando el conjunto de las verdades lógicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas. En otras palabras, si A es una fórmula cualquiera del lenguaje y S es el sistema formal bajo consideración, entonces se cumple que: Si ⊨s A entonces ⊢s A
El segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que ningún sistema (definido recursivamente) con cierto poder expresivo puede ser a la vez consistente y semánticamente completo.
Por otra parte, la completitud sintáctica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando, para toda fórmula del lenguaje del sistema, o bien es un teorema o bien su negación lo es. Esto es, existe una prueba para cada fórmula o para su negación.
La lógica proposicional y la lógica de primer orden son ambas semánticamente completas, pero no sintácticamente completas. Por ejemplo, en la lógica proposicional, la fórmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negación, de modo que eso basta para mostrar que no es sintácticamente completa. No obstante, como ninguna de esas dos fórmulas es una verdad lógica, no afectan a la completitud semántica del sistema.
Otra propiedad metateórica distinta es la completitud semántica fuerte, que dice: si en un sistema formal S, A es una fbf cualquiera que es una consecuencia semántica de un conjunto Γ de fórmulas, entonces existe una derivación de A a partir de Γ. En símbolos: Si Γ ⊨s A entonces Γ ⊢s A
(Wikipedia)
Claves:
Axioma,
Completitud,
Completo,
Consistencia,
fbf,
Metalógica,
Sistema formal,
Teorema,
Verdad lógica
CÁLCULO LÓGICO: 🔎
o derivación lógica, es un algoritmo o sistema lógico que permite inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.
La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como conclusión a partir de otro u otros, llamados premisas, mediante la aplicación de reglas de inferencia.
Decimos que alguien infiere o deduce "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.
En lo cotidiano utilizamos el razonamiento deductivo; partimos de enunciados empíricos, supuestamente verdaderos y válidos, para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos.
La lógica matemática, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las reglas que permiten la transformación de unos enunciados (premisas) en otros (conclusiones) con objeto de convertir las operaciones deductivas en un cálculo riguroso y eficaz.
Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento, previa la simbolización adecuada de los enunciados en fórmulas o Expresiones bien formadas (fbf) construimos un modelo dentro de un sistema deductivo que, referido al lenguaje ordinario, llamamos de Cálculo de deducción natural.
La representación gráfica de los símbolos (constantes lógicas) no está normalizada, lo que lleva a veces a ciertas dificultades de interpretación.
(Wikipedia)
La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como conclusión a partir de otro u otros, llamados premisas, mediante la aplicación de reglas de inferencia.
Decimos que alguien infiere o deduce "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.
En lo cotidiano utilizamos el razonamiento deductivo; partimos de enunciados empíricos, supuestamente verdaderos y válidos, para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos.
La lógica matemática, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las reglas que permiten la transformación de unos enunciados (premisas) en otros (conclusiones) con objeto de convertir las operaciones deductivas en un cálculo riguroso y eficaz.
Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento, previa la simbolización adecuada de los enunciados en fórmulas o Expresiones bien formadas (fbf) construimos un modelo dentro de un sistema deductivo que, referido al lenguaje ordinario, llamamos de Cálculo de deducción natural.
La representación gráfica de los símbolos (constantes lógicas) no está normalizada, lo que lleva a veces a ciertas dificultades de interpretación.
(Wikipedia)
BIVALENCIA: 🔎
toda fbf, (oración, enunciado, proposición), es o verdadera o falsa. (Haack, 1978).
La lógica clásica es un sistema lógico que admite solo dos valores de verdad para sus enunciados (premisas y conclusión). En la lógica bivalente, una proposición solo puede ser verdadera o falsa, no existen valores intermedios de verdad.
El clásico sistema de lógica bivalente es la lógica aristotélica que se sustenta en tres principios básicos:
Principio de identidad: es verdad que A es idéntico a A (a sí mismo). A = A
Principio de no contradicción: A no puede ser A y no-A al mismo tiempo. ¬ (A ∧ ¬A)
Principio del tercero excluido: A es verdadero o es falso, no hay una tercera posibilidad. A v ¬A
No admite tampoco matices modales en sus enunciados, tales como "es necesario que", "es imposible que", etc. Se limita al lenguaje enunciativo o declarativo.
Existen otros sistemas de lógicas que no se sustentan en estos principios y por lo tanto admiten más de dos valores de verdad. Los sistemas de lógica modales o plurivalentes (como la lógica trivalente de Jan Łukasiewicz o la lógica trivalente de Stephen Kleene), aceptan un tercer valor, como "indeterminado" o "posible".
(Wikipedia)
La lógica clásica es un sistema lógico que admite solo dos valores de verdad para sus enunciados (premisas y conclusión). En la lógica bivalente, una proposición solo puede ser verdadera o falsa, no existen valores intermedios de verdad.
El clásico sistema de lógica bivalente es la lógica aristotélica que se sustenta en tres principios básicos:
Principio de identidad: es verdad que A es idéntico a A (a sí mismo). A = A
Principio de no contradicción: A no puede ser A y no-A al mismo tiempo. ¬ (A ∧ ¬A)
Principio del tercero excluido: A es verdadero o es falso, no hay una tercera posibilidad. A v ¬A
No admite tampoco matices modales en sus enunciados, tales como "es necesario que", "es imposible que", etc. Se limita al lenguaje enunciativo o declarativo.
Existen otros sistemas de lógicas que no se sustentan en estos principios y por lo tanto admiten más de dos valores de verdad. Los sistemas de lógica modales o plurivalentes (como la lógica trivalente de Jan Łukasiewicz o la lógica trivalente de Stephen Kleene), aceptan un tercer valor, como "indeterminado" o "posible".
(Wikipedia)
PROPOSICIÓN: 🔎 🌐 👥
en filosofía y lógica, el término proposición se usa para referirse a:
Entidades portadoras de los valores de verdad.
Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales.
El significado de las oraciones declarativas o enunciativas, como «el Sol es una estrella».
Intuitivamente una proposición expresa un contenido semántico a la que bajo cierto procedimiento acordado o prescrito es posible asignarle un valor de verdad (usualmente "verdadero" o "falso", aunque en lógica formal se admiten otros valores de verdad diferentes).
Es una cadena de signos expresados en un determinado lenguaje.
En un lenguaje natural, esos signos usualmente son sonidos o caracteres escritos, mientras que un tipo de lenguaje formalizado pueden ser signos arbitrarios. Dado que los lenguajes son tipos de estructuras combinatorias que se admite que pueden representar entidades de la realidad, entonces las proposiciones son cadenas de signos que es posible emparejar con objetos reales. Es importante notar que lo que hace de una cadena de signos una proposición, es que sea interpretable (ya que existen por ejemplo cadenas de signos u oraciones de un lenguaje que carecen de un referente o interpretación bien definidos).
En ese sentido una proposición puede entenderse como un producto lógico del pensamiento humano que expresada mediante una lengua natural, aunque también existen lenguajes formales (como la notación matemática). Una proposición expresada en lenguaje natural deberá ser una oración gramatical o como mínimo una oración semánticamente no vacía, mientras que una proposición expresada en un lenguaje formal deberá ser una cadena de signos que constituya una fbf.
En lógica formal se identifica una proposición lógica con una fbf usando los símbolos del alfabeto que caracteriza al L que se esté empleando. Las reglas de formación garantizan que la proposición sea interpretable en términos de verdad o en un modelo formal. Las fórmulas mal formadas de hecho no pueden tener valor de verdad ya que no existe garantías de que sean interpretables y por tanto puedan tener un valor de verdad.
En lógica tradicional se distinguen la proposición y el juicio, por cuanto la primera es el producto lógico del acto por el cual se afirma o se niega algo de algo, mientras ese acto constituye el juicio. Para Aristóteles, la proposición es un discurso enunciativo perfecto, que se expresa en un juicio que significa lo verdadero y lo falso como juicio de términos. Por eso el juicio es una afirmación categórica, es decir, incondicionada porque representa adecuadamente la realidad.
(Wikipedia).
Entidades portadoras de los valores de verdad.
Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales.
El significado de las oraciones declarativas o enunciativas, como «el Sol es una estrella».
Intuitivamente una proposición expresa un contenido semántico a la que bajo cierto procedimiento acordado o prescrito es posible asignarle un valor de verdad (usualmente "verdadero" o "falso", aunque en lógica formal se admiten otros valores de verdad diferentes).
Es una cadena de signos expresados en un determinado lenguaje.
En un lenguaje natural, esos signos usualmente son sonidos o caracteres escritos, mientras que un tipo de lenguaje formalizado pueden ser signos arbitrarios. Dado que los lenguajes son tipos de estructuras combinatorias que se admite que pueden representar entidades de la realidad, entonces las proposiciones son cadenas de signos que es posible emparejar con objetos reales. Es importante notar que lo que hace de una cadena de signos una proposición, es que sea interpretable (ya que existen por ejemplo cadenas de signos u oraciones de un lenguaje que carecen de un referente o interpretación bien definidos).
En ese sentido una proposición puede entenderse como un producto lógico del pensamiento humano que expresada mediante una lengua natural, aunque también existen lenguajes formales (como la notación matemática). Una proposición expresada en lenguaje natural deberá ser una oración gramatical o como mínimo una oración semánticamente no vacía, mientras que una proposición expresada en un lenguaje formal deberá ser una cadena de signos que constituya una fbf.
En lógica formal se identifica una proposición lógica con una fbf usando los símbolos del alfabeto que caracteriza al L que se esté empleando. Las reglas de formación garantizan que la proposición sea interpretable en términos de verdad o en un modelo formal. Las fórmulas mal formadas de hecho no pueden tener valor de verdad ya que no existe garantías de que sean interpretables y por tanto puedan tener un valor de verdad.
En lógica tradicional se distinguen la proposición y el juicio, por cuanto la primera es el producto lógico del acto por el cual se afirma o se niega algo de algo, mientras ese acto constituye el juicio. Para Aristóteles, la proposición es un discurso enunciativo perfecto, que se expresa en un juicio que significa lo verdadero y lo falso como juicio de términos. Por eso el juicio es una afirmación categórica, es decir, incondicionada porque representa adecuadamente la realidad.
(Wikipedia).
TAUTOLOGÍA: 🔎
en sentido técnico, una fbf que toma el valor "verdadero" para todas las asignaciones de valores de verdad de sus componentes atómicos, (extendido en el caso de las lógicas polivalentes a: si toma un valor designado para todas las asignaciones de sus componentes atómicos). La prueba de corrección para el calculo de oraciones muestra que solo las tautologías son teoremas; la prueba de completud muestra que todas las tautologías son teoremas.
Intuitivamente una tautología es un enunciado que dice la misma cosa dos veces y, por tanto, es trivialmente verdadero. (Haack, 1978).
Intuitivamente una tautología es un enunciado que dice la misma cosa dos veces y, por tanto, es trivialmente verdadero. (Haack, 1978).
Claves:
Atómico,
Completitud,
Corrección,
Enunciado,
fbf,
Lógicas polivalentes,
Tautología,
Teorema,
Valor
INTERPRETACIÓN (DE UN SISTEMA FORMAL): 🔎
un conjunto, (el domino D), y una función que asigna elementos de D a términos singulares, n-tuplos de D a predicados n-prosicionales, y funciones con n-tuplos de elementos de D como argumento y elementos de D como valor, a símbolos de función.
(Haack, 1978).
En lógica, una interpretación semántica es asignar significados a las variables que constituyen las fbf de L. Como los lenguajes formales pueden definirse en términos puramente sintácticos, sus fbf pueden no ser más que cadenas de símbolos sin ningún significado. Una interpretación otorga significado a esas fórmulas.
El estudio general de las interpretaciones de los lenguajes formales se llama semántica formal.
Una interpretación muchas veces (pero no siempre) permite determinar el valor de verdad de las fbf de L. Si una interpretación asigna el valor de verdad verdadero a una fórmula o a varias fórmulas, entonces se dice que la interpretación es un modelo de esa fórmula o de esas fórmulas. (Wikipedia).
(Haack, 1978).
En lógica, una interpretación semántica es asignar significados a las variables que constituyen las fbf de L. Como los lenguajes formales pueden definirse en términos puramente sintácticos, sus fbf pueden no ser más que cadenas de símbolos sin ningún significado. Una interpretación otorga significado a esas fórmulas.
El estudio general de las interpretaciones de los lenguajes formales se llama semántica formal.
Una interpretación muchas veces (pero no siempre) permite determinar el valor de verdad de las fbf de L. Si una interpretación asigna el valor de verdad verdadero a una fórmula o a varias fórmulas, entonces se dice que la interpretación es un modelo de esa fórmula o de esas fórmulas. (Wikipedia).
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