FORMALISMO: 🔎 🌐 👥

escuela filosofica de la matemática (Hilbert, Curry), caracterizada por la opinión de que los números se pueden identificar con marcas sobre el papel.
(Haack, 1978).

Por formalismo matemático se entiende, en materias relacionadas con las fundamentos de las matemáticas, la filosofía de las matemáticas y la filosofía de la lógica, una teoría que sostiene que las proposiciones de las matemáticas y la lógica pueden considerarse como declaraciones sobre las consecuencias de ciertas reglas de manipulación de símbolos o términos o cadena de caracteres.

Por ejemplo, la geometría euclidiana puede ser vista como un juego (en el sentido de Wittgenstein) cuyo objetivo consiste en mover ciertas cadenas de símbolos (llamados axiomas) de acuerdo con un conjunto de reglas llamadas reglas de inferencia para generar nuevas cadenas. En este juego se puede demostrar o probar que el teorema de Pitágoras es válido porque la cadena que representa el teorema de Pitágoras se puede construir usando sólo las reglas establecidas.

De acuerdo con el formalismo, las "verdades" expresadas en la lógica y las matemáticas no son acerca de los números, series, o triángulos o cualquier otra materia específica, de hecho, no son "sobre" nada en absoluto. Son formas sintácticas cuyos contenidos o significados o referencias (ver Sobre el sentido y la referencia) no existen a menos que se les de una interpretación (o semántica).

Se ha sugerido que la adopción del punto de vista formalista exime a los matemáticos de la necesidad de preocuparse por cuestiones de los “fundamentos de las matemáticas” y proceder como si estos asuntos hubieran sido resueltos o carecieran de interés matemático. Muchos agregan que, en la práctica, los sistemas axiomáticos que se estudian son sugeridos por las exigencias de la ciencia en cada caso particular.
(Wikipedia).

CORRECTO: 🔎

I. Un argumento es correcto si (1) es válido y (2) sus premisas, y, por tanto, su conclusión, son verdaderas.
II.  Un sistema lógico es correcto syss todos sus teoremas son lógicamente verdaderos; corrección es la conversa de completud.
(Haack, 1978).

A la corrección también se la llama validez lógica y no hay que confundirla con verdad logica. Puede haber pues, argumentos correctos, pero falsos y viceversa.

En lógica, la validez es la propiedad que tienen los argumentos cuando las premisas implican la conclusión. Si la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas, se dice que el argumento es deductivamente válido. Algunos consideran estas dos nociones [deductivo y válido] idénticas y usan ambos términos indistintamente. Otros, sin embargo, consideran que puede haber argumentos válidos que no sean deductivamente válidos, como las inducciones. En cualquier caso, de las inducciones a veces se dice que son buenas o malas, en vez de válidas o inválidas.
(Wikipedia).

COMPLETO: 🔎

o completitud lógica.

Un sistema formal es completo en sentido debil si toda fbf que es lógicamente verdadera en el sistema es un teorema del sistema; o completo en el sentido fuerte si cualquier nuevo axioma independiente que se le añada lo hace inconsistente. Ejemplos: el cálculo de oraciones es completo en sentido fuerte; los sistemas modales corrientes son completos en sentido debil; la teoria de conjuntos y la aritmetica son incompletos.
(Haack, 1978).

En metalógica, la completitud semántica es la propiedad metateórica que tienen los sistemas formales cuando todas las fórmulas lógicamente válidas (todas las verdades lógicas) del sistema son además teoremas del sistema. Es decir, cuando el conjunto de las verdades lógicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas. En otras palabras, si A es una fórmula cualquiera del lenguaje y S es el sistema formal bajo consideración, entonces se cumple que: Si  ⊨s A entonces  ⊢s A

El segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que ningún sistema (definido recursivamente) con cierto poder expresivo puede ser a la vez consistente y semánticamente completo.

Por otra parte, la completitud sintáctica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando, para toda fórmula del lenguaje del sistema, o bien es un teorema o bien su negación lo es. Esto es, existe una prueba para cada fórmula o para su negación.

La lógica proposicional y la lógica de primer orden son ambas semánticamente completas, pero no sintácticamente completas. Por ejemplo, en la lógica proposicional, la fórmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negación, de modo que eso basta para mostrar que no es sintácticamente completa. No obstante, como ninguna de esas dos fórmulas es una verdad lógica, no afectan a la completitud semántica del sistema.

Otra propiedad metateórica distinta es la completitud semántica fuerte, que dice: si en un sistema formal S, A es una fbf cualquiera que es una consecuencia semántica de un conjunto Γ de fórmulas, entonces existe una derivación de A a partir de Γ. En símbolos: Si  Γ ⊨s A entonces Γ ⊢s A
(Wikipedia)

VERDAD LÓGICA: 🔎

una fbf es logicamente verdadera en L syss es verdadera en todas las interpretaciones de L. (Haack, 1978).

VÁLIDO, VALIDEZ LÓGICA: 🔎

un argumento formal es,

sintácticamente válido en L, syss su conclusión se sigue de sus premisas y de los axiomas de L, si los hay, mediante las reglas de inferencia de L;

semánticamente válido en L, syss su conclusión es verdadera en todas las interpretaciones de L en las que todas sus premisas son verdaderas.

Un argumento informal es válido syss sus premisas no pueden ser verdaderas y su conclusion falsa.  (Haack, 1978).

Es una propiedad que tienen los argumentos cuando las premisas implican la conclusión. Si la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas, se dice que el argumento es deductivamente válido. De las inducciones a veces se dice que son buenas o malas, en vez de válidas o inválidas. (Wikipedia).

Un argumento es válido syss el conjunto de proposiciones compuesto por sus premisas y la contradictoria de su conclusión es inconsistente.

TEOREMA: 🔎

es una proposición que afirma una verdad demostrable. Es una fbf que puede ser demostrada dentro de un sistema formal, partiendo de axiomas u otros teoremas.
Una fbf A es un teorema de L syss A se sigue de los axiomas de L, si los hay, mediante las reglas de inferencia de L. (Haack, 1978).

AXIOMA: 🔎 🌐

es una proposición aceptada dentro de un cuerpo teórico sobre la cual descansan otros razonamientos y proposiciones deducidas de ella.

Introducido originalmente por los matemáticos griegos del período helenístico, el axioma se consideraba como una proposición «evidente» y que se aceptaba sin requerir demostración previa. Posteriormente, en un sistema hipotético-deductivo, un axioma era toda proposición no deducida de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico (por oposición a los postulados).

Actualmente se busca qué consecuencias lógicas comportan un conjunto de axiomas, y de hecho en algunos casos se opta por introducir un axioma o bien su contrario, viendo que ninguna de las dos parece una proposición evidente. Así, si tradicionalmente los axiomas se elegían de entre «afirmaciones evidentes», con el objetivo de deducir el resto de proposiciones, en la moderna teoría de modelos un axioma es sólo una asunción, y en modo alguno se considera que la verdad o falsedad de los axiomas dependa del sentido intuitivo que se le pueda atribuir, o se recurre a que puedan ser autoevidentes.

En lógica un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fbf (planteada) de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

En un lenguaje formal, (L), fórmula universalmente válida, satisfecha por cualquier estructura y por cualquier función variable.

En términos coloquiales son enunciados verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible, con cualquier asignación de valores. Comúnmente se toma como axioma un conjunto mínimo de tautologías suficientes para probar una teoría. (Wikipedia)

Una fbf A es un axioma de L si A está establecida y su verdad incuestionada en el sistema de L; (trivialmente todos los axiomas de L son teoremas de L). Una presentación axiomática de la lógica utiliza axiomas así como reglas de inferencia. (Haack, 1978).